Ejercicios · Gestión Estratégica de Operaciones

Tarea I · Procesos y tiempos de espera. Todo lo que se necesita: capacidad = m/p, cuello de botella = menor capacidad, Ley de Little I = R·T, y las dos fórmulas de colas. Desarrollo propio significa que la solución la calculé yo a partir del enunciado, no es la pauta oficial del curso.

ProcesosDesarrollo propio

Problema 1 · Cafetería Dolce

Dolce es una cafetería italiana. Cuando llega un cliente pasa por caja con Josefa (1,5 min). Al emitirse la orden, esta va a la barra donde Daniela y Pedro preparan las bebidas en paralelo (3 min cada uno). Luego pasa a Francisco, encargado de repostería (4 min). Finalmente Francisca verifica y entrega (0,5 min). Cada cliente pide una bebida y una pieza de repostería.

Las primeras 4 horas llegan 15 clientes/hora. Las siguientes 4 horas llegan 25 clientes/hora. El gerente estima que hay en promedio 18 clientes dentro del local.

Diagrama de proceso, cuello de botella y capacidad del proceso.
Flow rate real (efectivo) en hora punta.
Tiempo promedio que un cliente pasa en la cafetería.
Utilización de cada recurso en hora punta. ¿Cómo aumentarías la capacidad?

a) Capacidad de cada etapa

Etapa	p	m	Capacidad = m/p	Por hora
Caja (Josefa)	1,5 min	1	0,667/min	40/h
Barra (Daniela + Pedro)	3 min	2	0,667/min	40/h
Repostería (Francisco)	4 min	1	0,25/min	15/h ← cuello de botella
Entrega (Francisca)	0,5 min	1	2/min	120/h

Cuello de botella = Francisco (repostería). Capacidad del proceso = 15 clientes/hora.

Ojo: la barra tiene el mismo tiempo (3 min) que casi es el más largo, pero como son 2 personas en paralelo su capacidad se duplica. El cuello de botella se define por capacidad, no por el tiempo más largo.

b) Flow rate real en hora punta

R = mín(demanda, capacidad) = mín(25, 15) = 15 clientes/hora

Llegan 25 pero solo se pueden procesar 15, así que se acumulan 10 clientes por hora en el local. Eso explica la saturación que ve el gerente.

c) Tiempo promedio en la cafetería (Ley de Little)

T = I / R = 18 / 15 = 1,2 horas = 72 minutos

d) Utilización

Recurso	Utilización = R / capacidad
Josefa (caja)	15/40 = 37,5%
Baristas	15/40 = 37,5%
Francisco (repostería)	15/15 = 100%
Francisca (entrega)	15/120 = 12,5%

Cómo aumentar la capacidad: hay que atacar el cuello de botella, no el resto. Opciones: contratar un segundo repostero (capacidad sube a 30/h y el nuevo cuello pasa a ser la caja/barra con 40/h), preparar repostería con anticipación fuera de hora punta, o mover a Francisca (que está al 12,5%) a ayudar en repostería en hora punta. Invertir en más cajeros no sirve de nada.

Colas · m > 1Desarrollo propio

Problema 2 · TechFix

λ = 20 clientes/hora · tiempo entre llegadas a = 3 min con σ = 3 min · tiempo de servicio p = 11 min con σ = 8 min · capacidad por técnico μ = 5,45 clientes/h · m = 4 técnicos.

Tiempo promedio de espera antes de ser atendido, identificando CVa y CVp.
Con Ley de Little, cuántos clientes esperan en promedio.
Un quinto técnico reduciría la espera en 35%. Nueva espera y nueva utilización.
¿Conviene contratarlo, si cada minuto de espera cuesta $300 y el sueldo es $12.000/hora?

a) Tiempo de espera

CVa = 3/3 = 1 · CVp = 8/11 = 0,727
u = p/(a·m) = 11/(3×4) = 11/12 = 0,9167
exponente = √(2(4+1))−1 = √10 − 1 = 2,1623
u^2,1623 = 0,8285 · /(1−0,9167) = 9,942
factor variabilidad = (1² + 0,727²)/2 = 0,7645
Tq = (11/4) × 9,942 × 0,7645

Tq ≈ 20,9 minutos de espera antes de ser atendido.

La utilización de 91,7% es altísima, por eso la espera se dispara aunque haya 4 técnicos.

b) Clientes esperando (Ley de Little)

Iq = Tq / a = 20,9 / 3 = 6,97 ≈ 7 clientes

También se puede hacer con R = 20 clientes/h y Tq en horas: Iq = 20 × (20,9/60) = 6,97. Mismo resultado.

c) Con un quinto técnico

Nuevo Tq = 20,9 × (1 − 0,35) = 13,6 minutos
Nueva u = 11/(3×5) = 0,7333 = 73,3%

La utilización baja de 91,7% a 73,3%, que es la razón real por la que la espera cae tanto.

d) ¿Conviene?

Costo de espera actual = 20 clientes/h × 20,9 min × $300 = $125.400 por hora
Costo de espera con 5 técnicos = 20 × 13,6 × $300 = $81.600 por hora
Ahorro = $43.800 por hora · Costo del técnico = $12.000 por hora

Sí conviene: se ahorran $43.800/h y cuesta $12.000/h. Beneficio neto ≈ $31.800 por hora.

Colas · m = 1Desarrollo propio

Problema 3 · Atlantic Video

Llegan 30 clientes/hora (a = 2 min) con σ de tiempos entre llegadas de 2 min. Un empleado en caja: p = 1,7 min con σ = 1,5 min.

Tiempo medio de espera en cola.
Si cuando no hay clientes clasifica videos (1,5 min cada uno), ¿cuántos clasifica en un turno de 8 h?
Número promedio de clientes en la caja (esperando o siendo atendidos).
Si el 10% no pasa por caja, ¿cuál es el nuevo tiempo de espera?
Si cada minuto de espera cuesta $0,75 y el sueldo es $10/hora, ¿cuál es el número óptimo de empleados?

a) Tiempo de espera

CVa = 2/2 = 1 · CVp = 1,5/1,7 = 0,882
u = p/a = 1,7/2 = 0,85
Tq = 1,7 × (0,85/0,15) × [(1² + 0,882²)/2] = 1,7 × 5,667 × 0,8893

Tq ≈ 8,57 minutos

b) Videos clasificados en 8 horas

Tiempo libre = (1 − u) = 1 − 0,85 = 15%
En 8 horas: 0,15 × 8 × 60 = 72 minutos libres
Videos = 72 / 1,5 = 48 videos

c) Clientes en la caja (esperando + atendidos)

T = Tq + p = 8,57 + 1,7 = 10,27 min
I = T/a = 10,27/2 = 5,13 clientes

d) Si el 10% no pasa por caja

Tasa efectiva = 30 × 0,9 = 27 clientes/h → a = 60/27 = 2,222 min
u = 1,7/2,222 = 0,765
Tq = 1,7 × (0,765/0,235) × 0,8893 = 1,7 × 3,255 × 0,8893

Tq ≈ 4,92 minutos. Bajar solo un 10% la demanda casi parte la espera a la mitad. Ese es el efecto no lineal de la utilización.

e) Número óptimo de empleados

Costo total por hora = sueldo × m + $0,75 × (minutos totales de espera por hora) = 10m + 0,75 × 30 × Tq.

m	u	Tq (min)	Costo espera/h	Sueldos/h	Total/h
1	0,850	8,57	$192,8	$10	$202,8
2	0,425	0,380	$8,6	$20	$28,6 ✅
3	0,283	0,070	$1,6	$30	$31,6

El óptimo son 2 empleados en caja.

Procesos + ColasDesarrollo propio

Problema 4 · Hospital, exámenes preoperatorios

Paso 1 Registro: recepcionista, 3 min · Paso 2 Vitales: 3 enfermeras, 8 min c/u · Paso 3 Revisión de exámenes: 5 enfermeras, 40 min c/u · Paso 4 Diagnóstico: 9 doctoras, 58 min c/u · Paso 5 Examen de sangre: 4 enfermeras, 5 min c/u · Paso 6 Checkout: 1 min, lo hace el mismo recepcionista del paso 1.

Cuello de botella, capacidad del proceso y utilización de cada etapa.
Luego, en el paso 4 llegan 9 pacientes/hora con CVa = 0,8 y tiempo de atención exponencial de media 58 min con 9 doctoras. Tiempo de espera promedio.
Cuántos pacientes esperan en promedio en esa etapa.

La trampa está en el paso 6: el recepcionista hace dos pasos, así que su tiempo total por paciente es 3 + 1 = 4 minutos, no 3 ni 1.

a) Capacidades

Etapa	p	m	Capacidad	Por hora
Recepcionista (pasos 1 + 6)	4 min	1	0,25/min	15/h
Paso 2 Vitales	8 min	3	0,375/min	22,5/h
Paso 3 Revisión exámenes	40 min	5	0,125/min	7,5/h ← cuello de botella
Paso 4 Diagnóstico	58 min	9	0,1552/min	9,31/h
Paso 5 Sangre	5 min	4	0,8/min	48/h

Cuello de botella = Paso 3. Capacidad del proceso = 7,5 pacientes/hora.

Utilizaciones trabajando a capacidad (R = 7,5/h): Paso 3 = 100% · Paso 4 = 7,5/9,31 = 80,6% · Recepcionista = 7,5/15 = 50% · Paso 2 = 7,5/22,5 = 33,3% · Paso 5 = 7,5/48 = 15,6%.

b) Espera en el paso 4

a = 60/9 = 6,667 min · CVa = 0,8 · p = 58 min exponencial → CVp = 1 · m = 9
u = 58/(6,667×9) = 58/60 = 0,9667
exponente = √(2×10) − 1 = √20 − 1 = 3,4721
u^3,4721 = 0,8890 · /(1−0,9667) = 26,67
factor variabilidad = (0,8² + 1²)/2 = 0,82
Tq = (58/9) × 26,67 × 0,82

Tq ≈ 141 minutos (unas 2 horas y 20 min). La utilización del 96,7% es la culpable.

c) Pacientes esperando

Iq = Tq / a = 140,9 / 6,667 = 21,1 pacientes

Procesos · flujos con rendimientoDesarrollo propio

Problema 5 · Jugueterías FEN

Llegan 20.000 kg de componentes de forma uniforme durante 8 horas (2.500 kg/h), y se procesa desde las 8:00 AM. 80% va a piezas troqueladas y 20% a juguetes completos.

Línea completos: 2 hornos × 500 kg/h → refrigerador 3.000 kg/h → clasificadora.
Línea troqueladas: 3 trituradoras × 700 kg/h → 5 tamices × 450 kg/h (después del tamizado se pierde 3%) → 4 secadores × 375 kg/h → clasificadora.
Ambas líneas: 6 clasificadoras × 450 kg/h.

¿Qué operación es el cuello de botella?
¿Hasta qué hora debe permanecer abierta la planta?

El truco: cada etapa procesa solo una fracción del input total. Para comparar todas en la misma unidad, hay que traducir cada capacidad a "kg de input total por hora" dividiendo por la fracción que le llega.

a) Cuello de botella

Etapa	Capacidad propia	Fracción del input que ve	Equivalente en input total
Hornos	2×500 = 1.000 kg/h	0,20	5.000 kg/h
Refrigerador	3.000 kg/h	0,20	15.000 kg/h
Trituradoras	3×700 = 2.100 kg/h	0,80	2.625 kg/h
Tamices	5×450 = 2.250 kg/h	0,80	2.812,5 kg/h
Secadores	4×375 = 1.500 kg/h	0,80×0,97 = 0,776	1.933 kg/h ← cuello de botella
Clasificadoras	6×450 = 2.700 kg/h	0,20 + 0,776 = 0,976	2.766 kg/h

El cuello de botella son los secadores, con una capacidad equivalente de 1.933 kg de material de entrada por hora.

Ojo con la pérdida del 3%: como ocurre después del tamizado, los secadores ya no ven el 80% sino el 80% × 97% = 77,6% del input. Por eso su capacidad efectiva es 1.500 / 0,776 = 1.933, no 1.500 / 0,80 = 1.875.

b) Hasta qué hora abrir

Llegada = 20.000 kg / 8 h = 2.500 kg/h > capacidad 1.933 kg/h
Como llega más rápido de lo que se procesa, la planta nunca se queda sin material tras arrancar.
Tiempo total = 20.000 / 1.933 = 10,35 horas

Desde las 8:00 AM + 10 horas 21 minutos → la planta debe quedar abierta hasta las 18:21 aprox.

Tarea II · Newsvendor, calidad y pronósticos. Los problemas 3, 4 y 5 son de resolución en Excel (gráficos de control y suavizamiento exponencial), así que aquí va el método completo en vez de un número final.

Newsvendor discretoDesarrollo propio

Problema 1 · Sabores Dieciocheros

Empanadas de pino congeladas. Demanda mensual uniforme discreta entre 700 y 1.100. Precio de venta $3.200.
La Huasa: costo $2.100, liquidación $900 por unidad no vendida.
La Fondita: costo $1.500, sin liquidación (las sobras se pierden).

Cuántas unidades pedir con cada proveedor.
Cuál de los dos genera mayor utilidad esperada.

a) Cantidad óptima con cada proveedor

La Huasa: Cu = 3.200 − 2.100 = 1.100 · Co = 2.100 − 900 = 1.200
CR = 1.100 / 2.300 = 0,4783

La Fondita: Cu = 3.200 − 1.500 = 1.700 · Co = 1.500 − 0 = 1.500
CR = 1.700 / 3.200 = 0,5313

Con demanda uniforme discreta entre 700 y 1.100 hay 401 valores posibles, cada uno con probabilidad 1/401. La acumulada es F(Q) = (Q − 699)/401.

La Huasa: Q = 699 + 0,4783 × 401 = 890,8 → Q* = 891 empanadas
La Fondita: Q = 699 + 0,5313 × 401 = 912,0 → Q* = 913 empanadas

Con demanda discreta se toma el primer Q cuya acumulada F(Q) sea ≥ CR, por eso se redondea hacia arriba.

b) Utilidad esperada de cada uno

Utilidad = precio × E[ventas] + liquidación × E[sobrante] − costo × Q.

La Huasa (Q = 891): E[ventas] = 845,3 · E[sobrante] = 45,7
Utilidad = 3.200×845,3 + 900×45,7 − 2.100×891 ≈ $874.900

La Fondita (Q = 913): E[ventas] = 856,2 · E[sobrante] = 56,8
Utilidad = 3.200×856,2 + 0 − 1.500×913 ≈ $1.370.200

Conviene La Fondita, con una utilidad esperada casi 57% mayor. El costo unitario mucho más bajo pesa más que perder la opción de liquidación.

Newsvendor NormalDesarrollo propio

Problema 2 · Pokébolas de Ash

Cada Pokébola cuesta USD 100. Usada con éxito da un beneficio de USD 350. Si falta, hay que comprarla de emergencia a USD 500 (beneficio sigue siendo 350 → pérdida neta de 150). Las sobrantes se pierden.
Demanda ~ Normal(μ = 200, σ = 40).

Si compra 220, probabilidad de cubrir toda la demanda.
Cuántas comprar para tener al menos 95% de probabilidad de cubrir la demanda.
Cantidad que maximiza la ganancia esperada.
Utilidad esperada de la decisión óptima.
Fill rate de la decisión óptima.

a) P(D ≤ 220)

z = (220 − 200)/40 = 0,5 → Φ(0,5) = 69,15%

b) 95% de probabilidad de cubrir

z = 1,645 → Q = 200 + 1,645 × 40 = 265,8 → 266 Pokébolas

c) Cantidad óptima

La clave está en definir bien Cu. Si te falta una: compras de emergencia a 500 y ganas 350 → −150. Si la hubieras comprado antes a 100 y ganas 350 → +250. La diferencia entre ambas es lo que pierdes por quedarte corto.

Cu = 250 − (−150) = 400 · Co = 100 (se pierde entera)
CR = 400 / (400 + 100) = 0,80 → z = 0,8416
Q* = 200 + 0,8416 × 40 = 233,7 ≈ 234 Pokébolas

d) Utilidad esperada

L(0,8416) = 0,1117 → ventas perdidas = 40 × 0,1117 = 4,47
E[utilidad] = 350×E[D] − 100×Q − 500×E[faltantes]
= 350×200 − 100×233,7 − 500×4,47 = 70.000 − 23.370 − 2.234

Utilidad esperada ≈ USD 44.400

e) Fill rate

Ventas desde stock propio = 200 − 4,47 = 195,5
Fill rate = 195,5 / 200 = 97,8%

Compara: la probabilidad de no quebrar stock (in-stock) es 80%, pero el fill rate es 97,8%. Cuando quiebras, te falta poco.

Calidad · X-bar chartMétodo

Problema 3 · BotellasFEN

15 subgrupos de 5 botellas cada uno, con su peso en gramos. Especificación de ingeniería: entre 19,5 g y 20,5 g.

Límites de control y gráfico X-bar.
¿El proceso está bajo control?
Índice Cp: ¿el proceso es capaz?

a) Construir el X-bar chart en Excel

Calcula el promedio de cada subgrupo (x̄ᵢ) con PROMEDIO de las 5 botellas. Te quedan 15 promedios.
Calcula la línea central x̄̄ = promedio de esos 15 promedios.
Estima σ̂: con DESVEST.M de las 75 mediciones individuales (o vía el rango promedio R̄ con la constante d₂ = 2,326 para n = 5, si el curso lo pide así).
Aplica los límites:

UCL = x̄̄ + 3·σ̂/√n · LCL = x̄̄ − 3·σ̂/√n (con n = 5)

Grafica los 15 promedios como línea, más tres líneas horizontales (LCL, x̄̄, UCL).

Con estos datos x̄̄ queda muy cerca de 20 g, y σ̂ individual ronda los 0,14 g, así que σ̂/√5 ≈ 0,063 y los límites quedan aproximadamente en 19,81 y 20,19. Calcula los tuyos con la planilla para el número exacto.

b) ¿Está bajo control?

Revisa dos cosas: (1) que ningún promedio caiga fuera de los límites, y (2) que no haya patrones: 7 o más puntos seguidos del mismo lado de la línea central, tendencias crecientes o decrecientes sostenidas, o ciclos. Si no hay nada de eso, el proceso está bajo control estadístico y la variación es solo de causa común.

c) Índice de capacidad

Cp = (USL − LSL) / (6σ̂) = (20,5 − 19,5) / (6 × σ̂) = 1 / (6σ̂)

Con σ̂ ≈ 0,14 → Cp ≈ 1 / 0,84 ≈ 1,19.

Interpretación: Cp mayor que 1 significa capaz, pero está bajo el objetivo típico de 1,33. El proceso cumple, aunque con poco margen: cualquier aumento de variabilidad lo saca de especificación.

"Bajo control" y "capaz" son cosas distintas. Un proceso puede estar perfectamente bajo control (predecible) y aun así ser incapaz (produce fuera de lo que el cliente acepta). Esta distinción se pregunta mucho.

Calidad · P-chartMétodo

Problema 4 · Falabilla (fidelización)

Datos reales del área de óptica (archivo Data P4 Tarea 2.xlsx de Canvas: 3.600 atenciones individuales, agregadas acá por semana). Para cada semana está el total de clientes atendidos n_t y cuántos de ellos no quedaron fidelizados; esa proporción es el "defecto" que se controla. Ojo con el detalle: 2008 trae 17 semanas (de la 35 a la 52, sin la 40) y 2009 trae 32, no son dos años completos ni del mismo largo.

2008 · sem	n_t	No fidel.	p_t
35	52	29	0,5577
36	41	27	0,6585
37	81	68	0,8395
38	104	80	0,7692
39	70	54	0,7714
41	58	51	0,8793
42	63	39	0,6190
43	82	26	0,3171
44	71	10	0,1408
45	75	19	0,2533
46	63	38	0,6032
47	57	36	0,6316
48	69	37	0,5362
49	84	48	0,5714
50	78	47	0,6026
51	98	50	0,5102
52	115	56	0,4870
Total	1.261	715	0,5670

2009 · sem	n_t	No fidel.	p_t
1	92	75	0,8152
2	78	72	0,9231
3	76	62	0,8158
4	70	49	0,7000
5	68	50	0,7353
6	71	55	0,7746
7	72	60	0,8333
8	74	53	0,7162
9	85	58	0,6824
10	83	52	0,6265
11	91	60	0,6593
12	90	65	0,7222
13	84	59	0,7024
14	80	58	0,7250
15	65	44	0,6769
16	89	64	0,7191
17	72	56	0,7778
18	83	55	0,6627
19	65	43	0,6615
20	79	55	0,6962
21	71	54	0,7606
22	55	32	0,5818
23	66	46	0,6970
24	79	44	0,5570
25	75	56	0,7467
26	74	54	0,7297
27	65	41	0,6308
28	68	41	0,6029
29	36	23	0,6389
32	63	30	0,4762
33	69	48	0,6957
34	51	37	0,7255
Total	2.339	1.651	0,7059

Construir el P-Chart de 2008: línea central, UCL y LCL.
¿Está el proceso bajo control estadístico?
Repetir con 2009 y comparar: ¿hubo mejora?

a) El P-chart de 2008

p̄ = total de no fidelizados / total de clientes = 715 / 1.261 = 0,5670

UCL_t = p̄ + 3·√( p̄(1−p̄) / n_t )
LCL_t = p̄ − 3·√( p̄(1−p̄) / n_t ), truncado en 0 si sale negativo

Los dos detalles que siempre se preguntan. Primero, p̄ es total sobre total, no el promedio de las p_t semanales, porque las semanas tienen distinto número de clientes. Segundo, como n_t cambia cada semana, los límites son escalonados: cada semana tiene su propio UCL. Con n = 41 el UCL es 0,7992 y con n = 115 baja a 0,7056; más clientes, límites más angostos.

Línea central p̄ = 0,5670 (56,70% de los clientes no se fideliza), con límites que van de 0,7056 a 0,7992 según la semana.

b) ¿Bajo control?

Semana	n_t	p_t	UCL	LCL	Señal
37	81	0,8395	0,7322	0,4018	sobre el UCL
38	104	0,7692	0,7128	0,4213	sobre el UCL
39	70	0,7714	0,7447	0,3893	sobre el UCL
41	58	0,8793	0,7622	0,3718	sobre el UCL
43	82	0,3171	0,7312	0,4029	bajo el LCL
44	71	0,1408	0,7434	0,3906	bajo el LCL
45	75	0,2533	0,7387	0,3954	bajo el LCL

No está bajo control: 7 de las 17 semanas se salen de los límites, y no al azar sino en dos rachas seguidas, 37 a 41 por arriba y 43 a 45 por abajo.

El patrón importa más que el conteo. Cuatro semanas malas seguidas y después tres muy buenas seguidas no es ruido: es causa asignable, algo cambió en el proceso entre la semana 41 y la 43. Un P-chart con rachas así dice que el proceso no es estable, así que ni siquiera tiene sentido usar ese p̄ como referencia hasta explicar qué pasó.

c) Comparación con 2009

p̄₂₀₀₈ = 0,5670 · p̄₂₀₀₉ = 0,7059

Variación = (0,7059 − 0,5670) / 0,5670 = +24,5%

No hubo mejora: empeoró. La proporción de clientes no fidelizados subió de 56,70% a 70,59%. En 2009 solo 2 de 32 semanas se salen de los límites, o sea el proceso es más estable, pero estable en un nivel peor.

Acá está la lección del P-chart, y es contraintuitiva. Estar "bajo control" no significa estar bien: significa ser predecible. En 2009 el proceso dejó de dar sorpresas, pero se estabilizó fidelizando menos gente. Un plan que actúa sobre el sistema mueve la línea central, y acá la movió para el lado malo. Si solo se mirara "cuántos puntos se salen", 2009 parecería mejor que 2008; hay que mirar siempre las dos cosas, el nivel de p̄ y la estabilidad.

PronósticosMétodo

Problema 5 · AeroFEN

Demanda diaria de 2024 con estacionalidad de ciclo 14 días (turnos mineros). Hay que comparar suavizamiento exponencial simple, doble y triple, elegir el de menor error, y predecir las 2 primeras semanas de enero 2025. Luego, para el día de mayor demanda, decidir cuántos empleados contratar (tabla de conversión) en dos escenarios de costo: $60 y $150 por día. Ticket promedio $5.

Los tres modelos

Modelo	Qué captura	Parámetros
Simple (SES)	Solo el nivel	α
Doble (Holt)	Nivel + tendencia	α, β
Triple (Holt-Winters)	Nivel + tendencia + estacionalidad	α, β, γ (+ largo del ciclo)

Simple: Lₜ = α·Yₜ + (1−α)·Lₜ₋₁ → Fₜ₊₁ = Lₜ

Doble: Lₜ = α·Yₜ + (1−α)(Lₜ₋₁ + Tₜ₋₁) ; Tₜ = β(Lₜ − Lₜ₋₁) + (1−β)Tₜ₋₁ → Fₜ₊ₘ = Lₜ + m·Tₜ

Triple: Lₜ = α(Yₜ/Sₜ₋ₛ) + (1−α)(Lₜ₋₁+Tₜ₋₁) ; Tₜ = β(Lₜ−Lₜ₋₁)+(1−β)Tₜ₋₁ ; Sₜ = γ(Yₜ/Lₜ)+(1−γ)Sₜ₋ₛ → Fₜ₊ₘ = (Lₜ + m·Tₜ)·Sₜ₋ₛ₊ₘ

s = 14, porque el ciclo minero se repite cada 14 días.

Cómo optimizar los parámetros en Excel

Arma una columna con el pronóstico de cada modelo y otra con el error (por ejemplo el MSE o el MAD) usando como horizonte el último mes.
Pon α, β, γ en celdas separadas.
Solver: minimizar la celda del error, cambiando α, β, γ, con restricción 0 ≤ parámetro ≤ 1. Método GRG No lineal (no Simplex, porque estas ecuaciones no son lineales).
Grafica los tres pronósticos sobre la serie real. El triple debería ganar por lejos, porque es el único que ve el ciclo de 14 días.

Decisión de empleados

Con el mejor modelo, proyecta los 14 días de enero 2025 e identifica el día peak. Para ese día, evalúa cada opción de dotación:

Utilidad(n) = demanda_peak × tasa_conversión(n) × $5 − n × costo_diario

Empleados	Conversión	Conversión marginal
1	30%	—
2	45%	+15 pp
3	55%	+10 pp
4	60%	+5 pp
5	62%	+2 pp
6	63%	+1 pp

Lógica marginal: agrega un empleado mientras demanda × conversión marginal × $5 > costo diario. Como el costo del escenario 2 es 2,5 veces el del escenario 1, el óptimo del escenario 2 será igual o menor en dotación. Los rendimientos decrecientes de la tabla (15 → 10 → 5 → 2 → 1 pp) hacen que el corte llegue rápido.

Tarea III · Inventario y programación lineal. Los problemas 1, 2 y 5 son de EOQ y punto de reorden. Los problemas 3 y 4 se resuelven con Solver, así que va la formulación completa.

EOQ + revisión continuaDesarrollo propio

Problema 1 · Reparto urbano (puntos automáticos)

Cada punto procesa 30 paquetes diarios a máxima capacidad, opera todos los días del año. La empresa logística cobra $20 fijo por visita. Cada insumo cuesta $1, el costo de capital anual es 12% y el almacenamiento cuesta $0,05 por unidad por día.

EOQ y frecuencia de reposición.
Con lead time de 5 días y 250 días al año, punto de reorden.
Con demanda diaria Normal(30; 12), lead time 2 días y 95% de nivel de servicio: R y Q óptimos.

Cuidado con las unidades de H: hay dos componentes en bases distintas. El almacenamiento viene diario ($0,05/día) y el capital viene anual (12%). Hay que llevarlos ambos a base anual.

a) EOQ

D = 30 × 365 = 10.950 unidades/año
H = ($0,05 × 365) + (12% × $1) = 18,25 + 0,12 = $18,37 por unidad/año
Q* = √(2 × 20 × 10.950 / 18,37) = √23.843 = 154,4 unidades

Reposiciones por año = 10.950 / 154,4 = 70,9
Tiempo entre reposiciones = 365 / 70,9 = 5,15 días

b) Punto de reorden (determinístico)

ROP = L × D_diaria = 5 × 30 = 150 unidades

El enunciado dice en a) que opera todos los días del año y en b) que opera 250 días al año. Es una inconsistencia del enunciado. Como el consumo del punto son 30 paquetes por día operativo, el ROP con L = 5 días da 150 unidades en cualquiera de las dos lecturas. Lo que sí cambia es la D anual del EOQ: con 250 días sería D = 7.500 y Q* = √(2×20×7.500/18,37) = 127,8. Deja constancia del supuesto que uses.

c) Sistema (Q, R) con demanda incierta

μ = 30/día · σ = 12 · L = 2 días · nivel de servicio 95% → z = 1,65

m_L = 30 × 2 = 60 unidades
σ_L = √2 × 12 = 16,97 unidades ← raíz de L, no L
Stock de seguridad = 1,65 × 16,97 = 28,0 unidades
R = 60 + 28 = 88 unidades

R ≈ 88 unidades y Q sigue siendo el EOQ ≈ 154 unidades. En un sistema (Q,R) el Q lo determina el balance de costos (EOQ) y el R lo determina el nivel de servicio.

EOQ + descuento por volumenDesarrollo propio

Problema 2 · NutriFast Suplementos

300 envases/semana · costo $4 por envase · costo de pedido $50 · mantención 20% anual del valor · lead time 1,5 semanas · año de 50 semanas.
Descuento: 7% si pide al menos 2.000 unidades.

Cantidad que minimiza los costos.
Pedidos por año y rotación de inventario.
Costo total anual por suplemento vendido.
¿EOQ o descuento?

a) EOQ

D = 300 × 50 = 15.000 unidades/año · K = $50 · C = $4 · H = 20% × 4 = $0,80
Q* = √(2 × 50 × 15.000 / 0,80) = √1.875.000 = 1.369,3 unidades

b) Pedidos y rotación

Pedidos/año = 15.000 / 1.369,3 = 10,95
Inventario promedio = Q/2 = 684,7 unidades
Rotación = D / inventario promedio = 15.000 / 684,7 = 21,9 veces al año

c) Costo total anual por unidad

Costo de pedir = (15.000/1.369,3) × 50 = $547,7
Costo de mantener = 0,80 × 684,7 = $547,7 ✅ (iguales, confirma el óptimo)
Costo del producto = 4 × 15.000 = $60.000
Total = $61.095,4 → por unidad = 61.095,4 / 15.000 = $4,073

d) ¿Conviene el descuento?

Con descuento: C = 4 × 0,93 = $3,72 → H = 20% × 3,72 = $0,744
El EOQ con el nuevo H sería 1.420, pero está bajo el mínimo de 2.000, así que se evalúa en Q = 2.000.

CT(2.000) = (15.000/2.000)×50 + 0,744×1.000 + 3,72×15.000
= 375 + 744 + 55.800 = $56.919

Conviene el descuento: $56.919 respecto a $61.095. Ahorro de $4.176 al año. El sobrecosto de mantener más inventario ($196 extra) es mínimo frente a los $4.200 que se ahorran en el producto.

Regla del método: cuando el EOQ del precio con descuento cae bajo el mínimo requerido, hay que evaluar el costo total exactamente en el mínimo (2.000), porque la curva de costo total es creciente a la derecha del EOQ.

Programación linealFormulación

Problema 3 · Trail Mix (Sembrolsa)

Mezcla de 5 ingredientes. Perfil nutricional mínimo por producto: 20 g vitaminas, 10 g minerales, 15 g proteínas, 600 calorías. Cada ingrediente debe ser al menos el 15% del total.

Ingrediente	Vitaminas	Minerales	Proteínas	Calorías	Costo/libra
Semillas (x₁)	10	5	1	500	$4
Pasas (x₂)	20	7	4	450	$5
Hojuelas (x₃)	10	4	10	160	$3
Pecanas (x₄)	30	9	2	300	$7
Nueces (x₅)	20	2	1	500	$6

Formular y resolver en Excel.
Ingrediente más eficiente en costo por gramo de vitaminas.
¿Qué pasa si se elimina el mínimo de 15%?
¿Si las pasas suben a $6?
¿Si las proteínas suben a 20 g? ¿Sigue factible?

a) Formulación

Variables: xᵢ = libras del ingrediente i en la mezcla (i = 1..5), continuas y ≥ 0

Función objetivo:
Minimizar Z = 4x₁ + 5x₂ + 3x₃ + 7x₄ + 6x₅

Restricciones nutricionales:
Vitaminas: 10x₁ + 20x₂ + 10x₃ + 30x₄ + 20x₅ ≥ 20
Minerales: 5x₁ + 7x₂ + 4x₃ + 9x₄ + 2x₅ ≥ 10
Proteínas: 1x₁ + 4x₂ + 10x₃ + 2x₄ + 1x₅ ≥ 15
Calorías: 500x₁ + 450x₂ + 160x₃ + 300x₄ + 500x₅ ≥ 600

Restricción de composición mínima (15% de cada uno):
xᵢ ≥ 0,15 · (x₁+x₂+x₃+x₄+x₅) para cada i
Equivalente lineal: 0,85·xᵢ − 0,15·Σ_j≠ixⱼ ≥ 0

No negatividad: xᵢ ≥ 0

La restricción de porcentaje parece no lineal pero no lo es: se pasa todo a un lado y queda una combinación lineal de las variables. Ese paso es exactamente lo que se evalúa en esta pregunta.

b) Ingrediente más eficiente en vitaminas

Ingrediente	Costo / g de vitaminas
Semillas	4/10 = $0,400
Pasas	5/20 = $0,250
Hojuelas	3/10 = $0,300
Pecanas	7/30 = $0,233 ✅
Nueces	6/20 = $0,300

Las pecanas son las más eficientes por gramo de vitaminas. Pero eso no significa que dominen la solución: el óptimo depende de todas las restricciones a la vez, no de una sola dimensión.

c) Si se elimina el mínimo de 15%

La región factible se agranda (se quitan restricciones). Por lo tanto el costo óptimo baja o se mantiene, nunca sube. Lo esperable es que algunos ingredientes caros y poco eficientes salgan de la mezcla (xᵢ = 0), concentrándose en los que mejor cubren cada requisito por peso. Las hojuelas, que son las únicas fuertes en proteínas (10 g/lb) y las más baratas, deberían tomar un rol grande.

d) Si las pasas suben a $6

Es un cambio en un coeficiente objetivo. Mira el reporte de sensibilidad: si $1 de aumento cae dentro del allowable increase de x₂, la solución óptima no cambia, solo sube el costo total en (1 × x₂*). Si excede el rango, hay que resolver de nuevo y las pasas perderán participación.

e) Si las proteínas suben a 20 g

Es un cambio en el RHS de una restricción ≥. Restringe más, así que el costo sube o se mantiene. Sigue siendo factible: las hojuelas aportan 10 g de proteína por libra, así que basta con aumentar x₃ para alcanzar 20 g sin violar nada. El precio sombra de la restricción de proteínas te dice cuánto sube el costo por cada gramo adicional exigido, y su rango de validez te dice hasta dónde puedes confiar en ese número.

Programación linealFormulación

Problema 4 · Pastelería Alcremie

Presupuesto semanal $18.000.000, hasta 3.500 tortas en total, 7 variedades con mínimo y máximo de producción cada una.

Torta	Costo	Precio	Margen	Mín	Máx
Chocolate (x₁)	$6.700	$10.990	$4.290	500	1000
Panqueque Naranja (x₂)	$8.500	$12.990	$4.490	300	700
Selva Negra (x₃)	$4.800	$8.990	$4.190	200	500
Mil Hojas (x₄)	$6.900	$11.990	$5.090	350	900
Piña (x₅)	$4.900	$9.990	$5.090	120	500
Frutas (x₆)	$4.000	$9.490	$5.490	80	300
Tres Leches (x₇)	$7.400	$11.490	$4.090	230	800

a) Formulación

Variables: xᵢ = tortas del tipo i a producir (i = 1..7)

Objetivo: Maximizar Z = 4.290x₁ + 4.490x₂ + 4.190x₃ + 5.090x₄ + 5.090x₅ + 5.490x₆ + 4.090x₇

Restricción de presupuesto:
6.700x₁ + 8.500x₂ + 4.800x₃ + 6.900x₄ + 4.900x₅ + 4.000x₆ + 7.400x₇ ≤ 18.000.000

Restricción de capacidad total: Σ xᵢ ≤ 3.500

Mínimos y máximos:
500 ≤ x₁ ≤ 1.000 · 300 ≤ x₂ ≤ 700 · 200 ≤ x₃ ≤ 500 · 350 ≤ x₄ ≤ 900
120 ≤ x₅ ≤ 500 · 80 ≤ x₆ ≤ 300 · 230 ≤ x₇ ≤ 800

La suma de los mínimos es 500+300+200+350+120+80+230 = 1.780 tortas, que cuesta $11.831.000. Ambas cifras están dentro de los límites, así que el problema es factible. Verificar esto siempre es el primer paso.

b) Intuición del óptimo

Como hay dos recursos escasos (plata y unidades), la lógica es priorizar por margen por unidad de recurso restrictivo:

Torta	Margen por torta	Margen por $ de costo
Frutas	$5.490	1,373
Piña	$5.090	1,039
Selva Negra	$4.190	0,873
Mil Hojas	$5.090	0,738
Chocolate	$4.290	0,640
Tres Leches	$4.090	0,553
Panqueque Naranja	$4.490	0,528

Si la restricción activa termina siendo las 3.500 unidades, manda el margen por torta (gana Frutas, luego Mil Hojas y Piña empatadas). Si la activa es el presupuesto, manda el margen por peso invertido (gana Frutas por lejos). Solver lo resuelve, pero el reporte de sensibilidad te dice cuál de las dos restricciones tiene precio sombra distinto de cero, y esa es la que manda.

c) Sin tortas de chocolate

Agregas x₁ = 0 (o cambias su máximo y su mínimo a 0). Se liberan recursos: al menos 500 tortas de cupo y $3.350.000 de presupuesto, que se reasignan a las variedades con mejor margen que aún no están en su máximo. El escenario es perjudicial porque la región factible se achica y el óptimo solo puede empeorar o quedar igual, pero la pérdida es menor que 500 × $4.290 = $2.145.000, porque parte de esa capacidad se recupera produciendo otras tortas.

d) y e) Con el aumento de costos

Torta	Costo nuevo	Margen nuevo	Cambio
Chocolate (+23%)	$8.241	$2.749	−36%
Panqueque Naranja (+15%)	$9.775	$3.215	−28%
Selva Negra (+12%)	$5.376	$3.614	−14%
Mil Hojas (+33%)	$9.177	$2.813	−45%
Piña (+17%)	$5.733	$4.257	−16%
Frutas (+8%)	$4.320	$5.170	−6%
Tres Leches (+20%)	$8.880	$2.610	−36%

Cambia el orden de prioridad: Mil Hojas cae del segundo lugar al fondo (−45% de margen), mientras Frutas y Piña se refuerzan. Vuelve a correr Solver con los nuevos coeficientes y compara la utilidad con la de b). La diferencia es la pérdida por el alza de costos, y se puede descomponer en cuánto viene de producir lo mismo más caro y cuánto de tener que reordenar la producción.

EOQ + stock de seguridadDesarrollo propio

Problema 5 · Estilo Urbano

Demanda 1.040 poleras/semana · costo de pedido $200 · precio por polera $10 · mantención 20% anual · lead time 2 semanas · σ semanal 120 · nivel de servicio 95% (z = 1,65) · 52 semanas al año.

EOQ.
Pedidos al año y semanas entre pedidos.
Stock de seguridad.
Punto de reorden.
Inventario promedio total y costo anual total de inventario.

a) EOQ

D = 1.040 × 52 = 54.080 poleras/año · K = $200 · H = 20% × 10 = $2
Q* = √(2 × 200 × 54.080 / 2) = √10.816.000 = 3.288,8 poleras

b) Pedidos y tiempo entre pedidos

Pedidos/año = 54.080 / 3.288,8 = 16,44
Semanas entre pedidos = 52 / 16,44 = 3,16 semanas

c) Stock de seguridad

σ_L = √2 × 120 = 169,7
SS = z × σ_L = 1,65 × 169,7 = 280 poleras

d) Punto de reorden

m_L = 1.040 × 2 = 2.080
ROP = 2.080 + 280 = 2.360 poleras

e) Inventario promedio y costo total

Inventario promedio = Q/2 + SS = 1.644,4 + 280 = 1.924,4 poleras

Costo de pedir = (54.080/3.288,8) × 200 = $3.288,8
Costo de mantener = 2 × 1.924,4 = $3.848,8
Costo anual total de inventario = $7.137,6

Aquí los costos de pedir y mantener no son iguales, y está bien: la propiedad "costo de pedir = costo de mantener" solo se cumple en el EOQ puro, sin stock de seguridad. El SS agrega costo de mantención sin agregar costo de pedido.

Tarea IV · Revenue management y pricing. Todo esto es newsvendor disfrazado. La dificultad está en identificar bien quién es Cu y quién es Co en cada contexto.

Nivel de protección · discretoDesarrollo propio

Problema 1 · SurBus (Concepción–Temuco)

40 asientos. Anticipado $10.000, último minuto $20.000. Distribución de la demanda de último minuto:

D	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
P(D)	0,05	0,07	0,08	0,10	0,10	0,12	0,13	0,12	0,10	0,08	0,05
F(D)	0,05	0,12	0,20	0,30	0,40	0,52	0,65	0,77	0,87	0,95	1,00

Cuántos asientos reservar para último minuto.
Si un asiento vacío puede llevar encomiendas por $6.000, ¿cambia la respuesta?
Si reserva 20 asientos, probabilidad de que queden vacíos.

a) Nivel de protección

Cu = rH − rL = 20.000 − 10.000 = $10.000 (protegiste poco: vendiste barato lo que valía caro)
Co = rL = $10.000 (protegiste de más: el asiento quedó vacío)
CR = 10.000 / 20.000 = 0,50

Buscamos el primer Q con F(Q) ≥ 0,50: F(21) = 0,40 < 0,50, F(22) = 0,52 ≥ 0,50.

Q* = 22 asientos reservados para último minuto. El límite de reservas anticipadas es 40 − 22 = 18 asientos.

b) Con ingreso de encomiendas

Ahora un asiento vacío no vale $0, vale $6.000.
Co = 10.000 − 6.000 = $4.000 · Cu sigue siendo $10.000
CR = 10.000 / 14.000 = 0,714

Primer Q con F(Q) ≥ 0,714: F(23) = 0,65 < 0,714, F(24) = 0,77 ≥ 0,714.

Q* = 24 asientos. Sube de 22 a 24: como sobreproteger ahora duele menos (el asiento vacío igual genera plata), conviene proteger más.

c) Probabilidad de asientos vacíos con Q = 20

Quedan asientos vacíos si la demanda de último minuto es menor que 20, o sea D ≤ 19.

P(D ≤ 19) = F(19) = 0,20 = 20%

Overbooking · PoissonDesarrollo propio

Problema 2 · AndinaAir (Santiago–São Paulo)

210 asientos · boleto $180.000 · no-shows ~ Poisson(λ = 20) · costo por pasajero que no puede abordar $350.000.

Cantidad óptima a sobrevender y total de asientos a vender.
Si sobrevende 25, probabilidad de que el vuelo salga completamente lleno.
Si vende 230 boletos, costo esperado por pasajeros que no embarcan.

En la tabla que da el enunciado, la columna rotulada F(X) son las probabilidades puntuales (la pmf) y la rotulada L(X) es la acumulada. Se nota porque en X = 20 la primera vale 0,0888 (la pmf de Poisson(20) en su moda) y la segunda 0,5591 (la acumulada en la media). Para el ratio crítico hay que usar la acumulada.

a) Sobreventa óptima

Cu = $180.000 (lo que ganas si ese asiento extra se usa)
Co = 350.000 − 180.000 = $170.000 (la penalización menos lo que el pasajero ya pagó)
CR = 180.000 / 350.000 = 0,5143

Buscamos Q con P(No-shows ≤ Q) ≥ 0,5143. Acumulada en 19 = 0,4703 < 0,5143; acumulada en 20 = 0,5591 ≥ 0,5143.

Sobrevender Q = 20 asientos → vender hasta 210 + 20 = 230 boletos.

b) Si sobrevende 25

El vuelo sale completamente lleno cuando los no-shows son 25 o menos (si son más de 25, sobran asientos).

P(No-shows ≤ 25) = acumulada en 25 = 0,8878 = 88,78%

c) Costo esperado con 230 boletos

Con 230 vendidos y 210 asientos, se baja a alguien cuando los no-shows son menos de 20. Pasajeros bajados = máx(20 − N, 0).

E[(20 − N)⁺] = 20 − λ + E[(N − 20)⁺], con λ = 20
E[(N − 20)⁺] = 20·(1 − 0,4703) − 20·(1 − 0,5591) = 10,595 − 8,818 = 1,777
→ E[bajados] = 0 + 1,777 = 1,777 pasajeros

Costo esperado = 350.000 × 1,777

Costo esperado ≈ $621.900 por vuelo. Compáralo con el ingreso extra de los 20 boletos adicionales (20 × $180.000 = $3.600.000 menos los reembolsos por no-shows) para ver que la sobreventa igual es rentable.

Nivel de protección · NormalDesarrollo propio

Problema 3 · Hotel Alrest

85 habitaciones iguales. Con reserva anticipada $65.000, sin reserva (walk-in) $90.000. Demanda de walk-in ~ Normal(23; 9).
En diciembre la demanda de alta disposición a pagar sube a Normal(39; 6).

Habitaciones a proteger y cuántas quedan para reservar.
Cuántas quedarán desocupadas por sobreproteger.
Óptimo en diciembre. ¿Y si σ no hubiese bajado?
Habitaciones desocupadas en diciembre.

a) Nivel de protección

Cu = 90.000 − 65.000 = $25.000 · Co = $65.000
CR = 25.000 / 90.000 = 0,2778
z = INV.NORM.ESTAND(0,2778) = −0,589
Q* = 23 + (−0,589 × 9) = 23 − 5,30 = 17,7 ≈ 18 habitaciones

Proteger 18 habitaciones para walk-in. Quedan 85 − 18 = 67 habitaciones disponibles para reservar con anticipación.

El z negativo asusta pero tiene todo el sentido: como el ratio crítico es menor a 0,5, quedarse con habitaciones vacías duele más que perder la tarifa alta. Por eso proteges menos que la demanda promedio (18 < 23).

b) Habitaciones desocupadas

L(−0,589) = 0,7607 → ventas perdidas = 9 × 0,7607 = 6,85
Ventas esperadas a tarifa alta = 23 − 6,85 = 16,15
Desocupadas = 17,7 − 16,15 = 1,55 habitaciones

c) Diciembre: μ = 39, σ = 6

El CR no cambia (los precios son los mismos): 0,2778, z = −0,589
Q* = 39 − 0,589 × 6 = 39 − 3,53 = 35,5 ≈ 36 habitaciones

Si σ se hubiese mantenido en 9: Q* = 39 − 5,30 = 33,7 ≈ 34 habitaciones

La intuición: con CR < 0,5, más incertidumbre te hace ser más conservador y proteger menos, porque el riesgo de dejar habitaciones vacías (que es el dolor más caro) crece. Al bajar σ de 9 a 6, la demanda alta se volvió más predecible, así que puedes proteger más (36 en vez de 34) sin miedo a quedarte con piezas vacías.

d) Habitaciones desocupadas en diciembre

Ventas perdidas = 6 × 0,7607 = 4,56 → ventas esperadas = 39 − 4,56 = 34,44
Desocupadas = 35,5 − 34,44 = 1,06 habitaciones

Menos que en el caso inicial (1,55). Con menor σ, el desajuste entre lo que proteges y lo que se vende se achica. Menos incertidumbre = menos desperdicio de capacidad.

Pricing + NewsvendorMétodo

Problema 4 · Medialunas en oficinas

Costo marginal de una medialuna: $200. Las sobrantes se pierden. Número de potenciales clientes ~ Poisson(λ = 15). Valoraciones ~ Normal(μ = 600; σ = 150). Si el precio es menor que la valoración, el cliente compra: demanda ~ Poisson(λ·(1 − F(p))).

Precio óptimo y cantidad óptima a ordenar.
Utilidad diaria esperada.

La estructura del problema

Hay dos decisiones anidadas: el precio p (que determina cuánta demanda hay) y la cantidad Q (que es un newsvendor dado ese precio). Se resuelve de afuera hacia adentro.

Paso 1 — La demanda depende del precio
λ(p) = 15 × (1 − F(p)) = 15 × [1 − Φ((p − 600)/150)]

Paso 2 — Dado p, el newsvendor
Cu = p − 200 · Co = 200 − 0 = 200
CR(p) = (p − 200) / p
Q*(p) = F⁻¹_{Poisson(λ(p))}(CR(p))

Paso 3 — La utilidad esperada
Π(p) = (p − 200)·E[ventas | Q*(p)] − 200·E[sobrante | Q*(p)]

Cómo resolverlo en Excel

Columna A: precios candidatos de $300 a $900 en pasos de $10.
Columna B: λ(p) con 15*(1-DISTR.NORM.N(p;600;150;VERDADERO)).
Columna C: CR(p) = (p−200)/p.
Columna D: Q*(p) con INV.POISSON o buscando en la acumulada de Poisson(λ(p)) el primer valor con acumulada ≥ CR.
Columna E: utilidad esperada, sumando sobre los valores de demanda posibles con sus probabilidades de Poisson.
Busca el máximo de la columna E (o usa Solver con GRG No lineal sobre p).

La tensión del problema: subir el precio aumenta el margen unitario (Cu crece, y con eso el CR sube y pides proporcionalmente más), pero reduce λ (menos clientes compran). El óptimo está donde esos dos efectos se equilibran. Con μ = 600 de valoración y costo de $200, el óptimo suele quedar por debajo de $600, porque a $600 pierdes la mitad de los clientes.

Al reportar, muestra la tabla p / λ(p) / Q*(p) / Π(p) y marca la fila ganadora. Esa tabla vale más que el número solo, porque muestra que entendiste el trade-off.

Simulación MontecarloMétodo

Problema 5 · Tienda TPL (vestido de temporada)

Costo de fabricación c = $3. Se ordena Q antes de la temporada, sin reabastecimiento.
Etapa 1 (sep–dic): D₁ ~ Normal(200; 50), precio r = $10.
Etapa 2 (enero–feb, descuentos): elegir precio p < r. Demanda D₂ = α·p^−β, con α = 1000, β = 2.
Etapa 3: remate a v = $2.

Los 5 pasos que pide el enunciado

Simular 1.000 demandas de la etapa 1: =INV.NORM(ALEATORIO();200;50) en 1.000 filas. Fija los valores (pegado especial como valores) para que no cambien en cada recálculo, si no Solver nunca converge.
Etapa 1 con un Q arbitrario:
Ventas₁ = MÍN(D₁; Q) · Sobras₁ = MÁX(Q − D₁; 0) · Utilidad₁ = (r − c) × Ventas₁ = 7 × Ventas₁
Etapa 2 con un precio p arbitrario:
D₂ = 1000·p⁻² (es determinística, no aleatoria) · Ventas₂ = MÍN(D₂; Sobras₁) · Sobras₂ = Sobras₁ − Ventas₂
Utilidad₂₊₃ = (p − c)·Ventas₂ − (c − v)·Sobras₂ = (p − 3)·Ventas₂ − 1·Sobras₂
Utilidad total por fila = Utilidad₁ + Utilidad₂₊₃. Esperanza = PROMEDIO de las 1.000 filas.
Solver: maximizar la celda de la esperanza, cambiando Q y p a la vez, con restricciones Q ≥ 0 y 3 ≤ p ≤ 10. Método GRG No lineal (hay potencias y mínimos, no es lineal).

La comparación final que pide el punto 5

Newsvendor tradicional: una sola oportunidad de venta a r = $10, con rescate v = $2
Cu = 10 − 3 = 7 · Co = 3 − 2 = 1 · CR = 7/8 = 0,875
z = 1,150 → Q_NV = 200 + 1,150 × 50 = 257,5 ≈ 258 vestidos

El resultado esperado: el mecanismo de 3 etapas da un Q mayor y una utilidad mayor, porque la etapa de descuento sube el valor de rescate efectivo del inventario sobrante. Ya no vale $2 sino algo entre $2 y $10, dependiendo de p. Como el Co efectivo baja, el ratio crítico sube y conviene ordenar más.

Usa las mismas 1.000 realizaciones para las dos comparaciones. Si simulas de nuevo, la diferencia que midas incluirá ruido de simulación y no será atribuible al mecanismo.

Problem Set 1 · Procesos y Tiempos de Espera (Primavera 2026, subido a Canvas el 6 de agosto). Es material de estudio: no se entrega, pero hay un quiz presencial por cada problem set, así que estos cuatro problemas son el mejor predictor del Quiz 1 del jueves 13 de agosto. Todas las soluciones de acá son Desarrollo propio: las calculé yo del enunciado, no hay pauta publicada.

Procesos · mix de productosDesarrollo propio

Problema 1 · Centro de preparación FarmaKit

FarmaKit prepara kits de diagnóstico para clínicas. Al centro llegan en promedio 18 órdenes por hora. Todas pasan primero por registro, donde un operario demora 2 minutos por orden. Después, el 60% son kits estándar, preparados por 2 operarios de 5 minutos cada uno; el 40% restante son refrigerados, a cargo de 2 operarios de 8 minutos. Finalmente todas pasan por control final, con 2 inspectores de 6 minutos. No se pierden ni rechazan órdenes.

Diagrama de flujo e indicar el flujo que entra a cada actividad.
Capacidad de cada actividad y del proceso, en órdenes totales por hora. Cuello de botella.
Utilización de cada actividad con el flujo actual de 18 órdenes/hora.
Si se puede sumar un trabajador a una sola actividad, ¿dónde va? Nueva capacidad y nuevos cuellos.
Después de esa mejora el mix cambia a 60% refrigerados y 40% estándar. Recalcular capacidad y cuello, y explicar por qué el mix cambia la capacidad sin que cambie ningún tiempo.

a) El flujo que entra a cada actividad

Registro: 18 órdenes/h (pasan todas)
Preparación estándar: 18 × 0,60 = 10,8 órdenes/h
Preparación refrigerada: 18 × 0,40 = 7,2 órdenes/h
Control final: 10,8 + 7,2 = 18 órdenes/h (las ramas se vuelven a juntar)

El error clásico acá es dividir el flujo y olvidar juntarlo de nuevo. Después de la bifurcación, el control final vuelve a ver las 18 órdenes completas.

b) Capacidad de cada actividad y del proceso

Actividad	m	p (min)	Capacidad propia	En órdenes totales/h
Registro	1	2	1 × 60/2 = 30 órd/h	30
Prep. estándar	2	5	2 × 60/5 = 24 kits/h	24 / 0,60 = 40
Prep. refrigerada	2	8	2 × 60/8 = 15 kits/h	15 / 0,40 = 37,5
Control final	2	6	2 × 60/6 = 20 órd/h	20

Capacidad del proceso = 20 órdenes por hora. El cuello de botella es el control final.

Cuando el flujo se divide en porcentajes, las capacidades no se pueden comparar tal cual: hay que llevarlas todas a la misma unidad. Una etapa que procesa 15 kits refrigerados por hora soporta 37,5 órdenes totales, porque solo el 40% le llega.

c) Utilización con 18 órdenes/hora

Actividad	Flujo que le llega	Capacidad propia	Utilización
Registro	18	30	60%
Prep. estándar	10,8	24	45%
Prep. refrigerada	7,2	15	48%
Control final	18	20	90%

Capacidad del proceso = R / ρ_máx = 18 / 0,90 = 20 órdenes/h. Da lo mismo que en b), como tiene que ser.

d) Dónde va el trabajador extra

Al control final, que es el cuello. Sumarlo en cualquier otra parte no cambia nada.
Nueva capacidad de control final = 3 × 60/6 = 30 órdenes/h

Utilizaciones con 18 órd/h: registro 60% · estándar 45% · refrigerada 48% · control final 60%
ρ_máx = 0,60 → nueva capacidad = 18 / 0,60 = 30 órdenes/h

La capacidad sube de 20 a 30 órdenes/h (+50%) y aparecen dos cuellos simultáneos: registro y control final, los dos en 30. Un segundo inspector extra ya no aportaría nada.

e) El mix cambia a 60% refrigerados

Actividad	Flujo con el nuevo mix	Capacidad propia	Utilización
Registro	18	30	60%
Prep. estándar (40%)	7,2	24	30%
Prep. refrigerada (60%)	10,8	15	72%
Control final (3 insp.)	18	30	60%

Capacidad = 18 / 0,72 = 25 órdenes/h. El cuello se movió a la preparación refrigerada, y la capacidad bajó de 30 a 25 sin que nadie trabajara más lento.

Por qué el mix cambia la capacidad: cada actividad de una rama solo ve la fracción del flujo que le corresponde. Al subir la proporción que pasa por el recurso más lento por unidad (8 minutos contra 5), ese recurso se satura con menos órdenes totales. El cuello de botella no es una propiedad fija de la planta: depende del producto que estés fabricando. Es exactamente la lección de National Cranberry con la fruta húmeda.

Colas · pooling y variabilidadDesarrollo propio

Problema 2 · Soporte técnico de movilidad eléctrica

Mesa de soporte remoto. Llega una solicitud cada 5 minutos, con desviación estándar de los tiempos entre llegadas de 5 minutos. Cada agente demora en promedio 18 minutos, con desviación de 9 minutos. Una sola cola atendida por 4 agentes.

Mínimo de agentes para que el sistema sea estable. Con la dotación actual: CV_a, CV_p y ρ.
T_q, T e I_q.
Con un quinto agente: nueva utilización, T_q, T e I_q.
Alternativa: mantener 4 agentes y un sistema de citas que baja la desviación entre llegadas a 2,5 minutos. Nuevo CV_a, T_q, T e I_q.
Comparar la reducción porcentual de T_q. ¿Cuál conviene? ¿Alcanza esta información para decidir?

a = 5 min · σ_a = 5 min · p = 18 min · σ_p = 9 min · m = 4
T_q = (p/m) × [ ρ^{√(2(m+1))−1} / (1−ρ) ] × [ (CV_a² + CV_p²) / 2 ]

a) Mínimo de agentes y coeficientes

Para que sea estable: ρ = p/(m·a) < 1 → m > p/a = 18/5 = 3,6 → mínimo 4 agentes
CV_a = 5/5 = 1 · CV_p = 9/18 = 0,5
ρ = 18 / (4 × 5) = 0,90 = 90%

Con 3 agentes la capacidad sería 3/18 por minuto contra 1/5 de llegadas: la cola crecería sin límite. El 4 no es una elección cómoda, es el mínimo, y por eso el sistema queda al 90%.

b) Tiempos con 4 agentes

p/m = 18/4 = 4,5 · exponente = √(2 × 5) − 1 = 2,1623
0,90^2,1623 / (1 − 0,90) = 0,7963 / 0,10 = 7,963
factor de variabilidad = (1² + 0,5²)/2 = 0,625
T_q = 4,5 × 7,963 × 0,625 = 22,4 minutos
T = 22,4 + 18 = 40,4 minutos
R = 1/5 = 0,2 solicitudes/min → I_q = 0,2 × 22,4 = 4,48 solicitudes

c) Con un quinto agente

ρ = 18 / (5 × 5) = 0,72 · p/m = 3,6 · exponente = √12 − 1 = 2,4641
0,72^2,4641 / 0,28 = 0,4451 / 0,28 = 1,590
T_q = 3,6 × 1,590 × 0,625 = 3,58 minutos
T = 21,58 min · I_q = 0,2 × 3,58 = 0,72 solicitudes

d) Con sistema de citas y 4 agentes

CV_a = 2,5 / 5 = 0,5 · ρ sigue siendo 0,90 (no cambió ni p ni m ni a)
factor de variabilidad = (0,5² + 0,5²)/2 = 0,25 (antes 0,625)
T_q = 4,5 × 7,963 × 0,25 = 8,96 minutos
T = 26,96 min · I_q = 0,2 × 8,96 = 1,79 solicitudes

Fíjate que acá el único término que cambió es el de variabilidad, y bajó exactamente en la misma proporción que T_q (0,25/0,625 = 0,4). Cuando ρ no se mueve, la espera es proporcional al factor de variabilidad.

e) Comparación

Escenario	ρ	T_q	Reducción	I_q
Actual (4 agentes)	90%	22,4 min	—	4,48
Quinto agente	72%	3,58 min	84,0%	0,72
Sistema de citas	90%	8,96 min	60,0%	1,79

El quinto agente reduce más la espera: 84% contra 60%.

No, no alcanza para decidir. Lo que falta: (1) el costo de cada opción, un sueldo permanente contra implementar y mantener un sistema de citas; (2) la factibilidad, porque en soporte técnico el cliente llama cuando se le rompe algo y puede no aceptar agendar; (3) que no son excluyentes, hacer las dos deja T_q en 4,5 × 7,963 × 0,25 con ρ de 0,72, o sea bajo el minuto; y (4) la robustez, el quinto agente además baja ρ a 72% y deja holgura si la demanda crece, mientras que las citas dejan el sistema al 90%, donde cualquier peak lo hace explotar.

Procesos por lotes · Ley de LittleDesarrollo propio

Problema 3 · Procesamiento de muestras en BioTrack

Llegan 12 órdenes por hora y cada orden trae 3 tubos. Todas pasan por recepción, etiquetado, análisis y validación, en ese orden. Recepción: 2 asistentes de 5 min por orden. Etiquetado: 3 técnicos de 3 min por tubo. Análisis: por lotes de 12 tubos, 4 equipos idénticos, 24 min por lote. Validación: 2 profesionales de 8 min por orden.

Diagrama y flujo que entra a cada actividad, en órdenes/hora y en tubos/hora donde corresponda.
Capacidad de cada actividad en sus unidades naturales y en órdenes/hora. Capacidad del proceso y cuello.
Utilización de cada actividad con 12 órdenes/hora.
Si el tiempo total en el proceso es de 90 minutos, ¿cuántas órdenes hay dentro en promedio?
La demanda sube a 18 órdenes/hora. Flujo máximo de salida y acumulación. ¿Alcanza con un tercer profesional en validación?

a) Flujos

Recepción: 12 órdenes/h
Etiquetado: 12 × 3 = 36 tubos/h
Análisis: 36 tubos/h = 3 lotes de 12 por hora
Validación: 12 órdenes/h

Acá el problema mezcla dos unidades a propósito. La regla: convierte todo a la unidad de la actividad para calcular su capacidad, y después vuelve a órdenes por hora para poder comparar.

b) Capacidades

Actividad	Cálculo	Capacidad natural	En órdenes/h
Recepción	2 × 60/5	24 órdenes/h	24
Etiquetado	3 × 60/3	60 tubos/h	60/3 = 20
Análisis	4 equipos × (12 tubos / 24 min)	4 × 30 = 120 tubos/h	120/3 = 40
Validación	2 × 60/8	15 órdenes/h	15

Capacidad del proceso = 15 órdenes por hora. Cuello de botella: validación.

El procesamiento por lotes asusta pero no tiene truco: un equipo saca 12 tubos cada 24 minutos, o sea 30 tubos/hora. Con 4 equipos, 120 tubos/hora. El análisis, que parecía el paso pesado, resulta ser el más holgado de todos.

c) Utilización con 12 órdenes/hora

Recepción 12/24 = 50% · Etiquetado 12/20 = 60% · Análisis 12/40 = 30% · Validación 12/15 = 80%

d) Ley de Little

R = 12 órdenes/h · T = 90 min = 1,5 h
I = R × T = 12 × 1,5 = 18 órdenes dentro del proceso

e) La demanda sube a 18 órdenes/hora

Capacidad del proceso = 15 < 18 → el flujo de salida se queda en 15 órdenes/h
Acumulación = 18 − 15 = 3 órdenes por hora que se apilan antes de validación

Con un tercer profesional en validación:
Nueva capacidad de validación = 3 × 60/8 = 22,5 órdenes/h
Capacidades ahora: 24 · 20 · 40 · 22,5 → mínimo = 20 órdenes/h

Sí alcanza: 20 ≥ 18, ya no se acumula nada. El nuevo cuello de botella es el etiquetado, que queda trabajando al 18/20 = 90%.

Cuidado con quedarse tranquilo: la capacidad quedó en 20 contra una demanda de 18, o sea 90% de utilización. Por lo que vimos en colas, a ese nivel las esperas ya se disparan aunque en promedio "alcance".

PoolingDesarrollo propio

Problema 4 · Mesas virtuales de orientación municipal

Dos mesas virtuales idénticas e independientes, cada una con su propia cola y 2 ejecutivos. A cada mesa llega una solicitud cada 4 minutos (desviación 4 min). Cada ejecutivo demora 6 minutos (desviación 3 min). Se evalúa hacer pooling: una sola cola con los 4 ejecutivos, donde llega una solicitud cada 2 minutos. CV_a y CV_p no cambian al agrupar.

Por mesa separada: CV_a, CV_p y utilización. ¿Es estable?
Por mesa: T_q, T e I_q. Y el I_q total entre las dos.
Con pooling: utilización, T_q, T e I_q.
Reducción porcentual de T_q y de I_q total. ¿Por qué baja la espera si la capacidad y la utilización no cambian?
Después del pooling la tasa de llegada sube 20%. Nueva utilización, estabilidad, y qué debería pasar con la espera sin recalcularla.

a) Una mesa sola

a = 4 min · σ_a = 4 · p = 6 min · σ_p = 3 · m = 2
CV_a = 4/4 = 1 · CV_p = 3/6 = 0,5
ρ = 6 / (2 × 4) = 0,75 = 75% → estable, porque es menor que 1

b) Tiempos por mesa

p/m = 6/2 = 3 · exponente = √(2 × 3) − 1 = √6 − 1 = 1,4495
0,75^1,4495 / (1 − 0,75) = 0,6590 / 0,25 = 2,636
factor de variabilidad = (1 + 0,25)/2 = 0,625
T_q = 3 × 2,636 × 0,625 = 4,94 minutos
T = 4,94 + 6 = 10,94 minutos
R = 1/4 = 0,25 solicitudes/min → I_q = 0,25 × 4,94 = 1,24 por mesa
I_q total = 2 × 1,24 = 2,47 solicitudes esperando

c) Con pooling

m = 4 · a = 2 min · ρ = 6 / (4 × 2) = 0,75, exactamente la misma de antes
p/m = 6/4 = 1,5 · exponente = √10 − 1 = 2,1623
0,75^2,1623 / 0,25 = 0,5368 / 0,25 = 2,147
T_q = 1,5 × 2,147 × 0,625 = 2,01 minutos
T = 8,01 minutos
R = 1/2 = 0,5 solicitudes/min → I_q = 0,5 × 2,01 = 1,01 solicitudes

d) La comparación

Indicador	Dos colas	Pooling	Reducción
Utilización	75%	75%	igual
Tiempo en cola T_q	4,94 min	2,01 min	59,3%
Tiempo total T	10,94 min	8,01 min	26,8%
I_q total	2,47	1,01	59,3%

Por qué baja la espera: con colas separadas puede pasar que en una mesa los dos ejecutivos estén desocupados mientras en la otra hay gente esperando. Esa capacidad ociosa se pierde: nadie puede cruzar. Al juntar las colas, cualquier ejecutivo que se desocupa atiende a la siguiente persona, venga de donde venga. En la fórmula eso se ve en el factor de proceso p/m, que cae de 3 a 1,5 minutos al pasar de 2 a 4 servidores compartidos. No hay más capacidad ni menos carga: se elimina el desbalance.

e) La demanda sube 20%

Nuevo a = 2 / 1,2 = 1,667 min entre llegadas
ρ = 6 / (4 × 1,667) = 0,90 = 90% → sigue siendo estable, pero apenas

La espera debería subir mucho más que 20%. El término ρ^k/(1−ρ) crece de forma explosiva cerca de 1: el denominador pasa de 0,25 a 0,10, o sea se multiplica por 2,5 solo por ese factor. Un 20% más de demanda no cuesta 20% más de espera, cuesta varias veces más.

Esta es la moraleja que más se repite en el ramo: la ganancia del pooling se puede gastar entera subiendo la utilización. Si juntas las colas y aprovechas para cargar más el sistema, terminas peor que antes.

Ayudantías con pauta oficial. Estas vienen con la solución del cuerpo docente, así que las respuestas son las del curso, no mis cálculos. Los problemas propuestos del final de cada ayudantía no traen pauta: esos los resolví yo.

Procesos y colasPauta oficial

Ayudantía Procesos y Tiempos de Espera · Problema 1 · Centro de preparación de pedidos

📄 Ayudantía Procesos y Tiempos de Espera · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Primavera 2026 · prof. Simón Maturana. Enunciado y pauta oficial del curso (Ayudantía_Procesos_y_Tiempos_de_Espera_Enunciado.pdf).

Llegan 24 pedidos por hora. Todos pasan por verificación, con 1 trabajador de 2 minutos. Después el 75% son estándar, preparados por 3 trabajadores de 6 minutos, y el 25% son especiales, preparados por 1 trabajador de 8 minutos. Finalmente todos van a empaque, con 2 personas de 5 minutos. No se pierden pedidos.

Diagrama de flujo e indicar el flujo que entra a cada actividad.
Capacidad de cada actividad y del proceso. Cuello de botella.
Utilización de cada actividad con 24 pedidos/hora.
¿Dónde agregar un trabajador? Nueva capacidad y nuevos cuellos.

a) El flujo de cada actividad

Todos entran por verificación y recién ahí se abren las dos ramas, que se vuelven a juntar antes del empaque.

Estándar = 24 × 0,75 = 18 ped/h · Especial = 24 × 0,25 = 6 ped/h
Al empaque vuelven 18 + 6 = 24 ped/h

Verificación 24 · preparación estándar 18 · preparación especial 6 · empaque 24 pedidos por hora.

b) Capacidad y cuello de botella

Actividad	m	p (min)	Capacidad propia	Utilización
Verificación	1	2	1 × 60/2 = 30 ped/h	24/30 = 0,80
Preparación estándar	3	6	3 × 60/6 = 30 estándar/h	18/30 = 0,60
Preparación especial	1	8	1 × 60/8 = 7,5 especiales/h	6/7,5 = 0,80
Empaque	2	5	2 × 60/5 = 24 ped/h	24/24 = 1,00

Capacidad del proceso = R / ρ_máx = 24 / 1,00 = 24 ped/h

Las capacidades son 30, 30, 7,5 y 24 por hora. La capacidad del proceso es 24 pedidos por hora y el cuello de botella es el empaque, que ya opera al 100%.

c) Utilizaciones con 24 pedidos/hora

Verificación 80% · Preparación estándar 60% · Preparación especial 80% · Empaque 100%

Solo el empaque está sin holgura. Trabajar al 100% significa que cualquier atraso o pedido más lento de lo normal se traduce de inmediato en pedidos acumulados, porque no hay tiempo ocioso con el cual recuperarse.

d) Dónde va el trabajador extra

Al empaque. Ponerlo donde la utilización no es la más alta no cambia nada.
Nueva capacidad de empaque = 3 × 60/5 = 36 ped/h
Utilizaciones: verificación 0,80 · estándar 0,60 · especial 0,80 · empaque 24/36 = 0,67
Nueva capacidad del proceso = 24 / 0,80 = 30 ped/h, o sea un aumento de 25%

Se agrega al empaque. La nueva capacidad es 30 pedidos por hora y hay dos cuellos de botella simultáneos: verificación y preparación especial. Un segundo trabajador extra en el empaque ya no aportaría nada.

PoolingPauta oficial

Ayudantía Procesos y Tiempos de Espera · Problema 2 · Mesas de ayuda universitarias

Dos mesas de ayuda virtuales idénticas e independientes, cada una con su cola y 2 trabajadores. A cada mesa llega una solicitud cada 5 minutos (desviación 5 min). Cada trabajador demora 8 minutos (desviación 4 min). Después se evalúa pooling: una sola cola con los 4 trabajadores y una solicitud cada 2,5 minutos.

CV_a, CV_p y utilización de cada mesa.
Por mesa: T_q, T e I_q. Y el total entre las dos.
Con pooling: utilización, T_q, T e I_q.
Reducción porcentual y por qué el pooling reduce la espera con la misma capacidad y la misma utilización.

a = 5 min · σ_a = 5 min · p = 8 min · σ_p = 4 min · m = 2
T_q = (p/m) × [ ρ^{√(2(m+1))−1} / (1−ρ) ] × [ (CV_a² + CV_p²) / 2 ]

a) Coeficientes y utilización

CV_a = 5/5 = 1 · CV_p = 4/8 = 0,5
ρ = p / (m × a) = 8 / (2 × 5) = 0,80 = 80%

b) Tiempos por mesa

Factor de proceso: p/m = 8/2 = 4,00 min
Exponente: √(2 × 3) − 1 = √6 − 1 = 1,4495
Factor de utilización: 0,80^1,4495 / (1 − 0,80) = 0,7237 / 0,2 = 3,6183
Factor de variabilidad: (1² + 0,5²)/2 = 1,25/2 = 0,625

T_q = 4,00 × 3,6183 × 0,625 = 9,05 min
T = 9,05 + 8 = 17,05 min
R = 1/5 = 0,20 solicitudes/min → I_q = 0,20 × 9,05 = 1,81 en cada cola
Total entre ambas mesas: 2 × 1,81 = 3,62 solicitudes

c) Con pooling

Ahora m = 4 y a = 2,5 min. p y los CV no cambian.
ρ = 8 / (4 × 2,5) = 0,80, exactamente igual que antes
Factor de proceso: p/m = 8/4 = 2,00 min
Exponente: √(2 × 5) − 1 = √10 − 1 = 2,1623
Factor de utilización: 0,80^2,1623 / 0,2 = 0,6173 / 0,2 = 3,0862

T_q = 2,00 × 3,0862 × 0,625 = 3,86 min
T = 3,86 + 8 = 11,86 min
R = 1/2,5 = 0,40 solicitudes/min → I_q = 0,40 × 3,86 = 1,54 solicitudes

La utilización idéntica es la clave del problema: se juntó el doble de demanda con el doble de trabajadores, así que el sistema queda igual de cargado. Cualquier mejora que aparezca no viene de tener más capacidad.

d) Reducción y explicación

Indicador	Dos colas	Pooling
Utilización	80%	80%
Tiempo en cola T_q	9,05 min	3,86 min
Tiempo en el proceso T	17,05 min	11,86 min
Solicitudes esperando (total)	3,62	1,54

Reducción = (9,05 − 3,86) / 9,05 = 57,35%

El tiempo promedio en cola baja 57,35%. La mejora no viene de más capacidad ni de menos carga (las dos son idénticas), sino de eliminar el desbalance y reducir la variabilidad: con una sola cola ningún trabajador queda ocioso mientras alguien espera. En la fórmula se ve en el factor de proceso, que cae de p/m = 4 a p/m = 2 minutos al pasar de 2 a 4 servidores compartidos.

Propuesto · procesosDesarrollo propio

Propuesto 1 · Laboratorio de control de calidad

Llegan 18 muestras por hora. Cada muestra pasa por registro (2 técnicos de 5 min), análisis (3 técnicos de 8 min) y validación (1 profesional de 3 min), en ese orden. Los trabajadores de una misma actividad operan en paralelo.

Capacidad de cada actividad y cuello de botella.
Capacidad del proceso.
Utilización de cada actividad con 18 muestras/hora.
Si el flujo sube a 21 muestras/hora, ¿es estable? ¿Dónde se acumularía?

a) y b) Capacidades

Actividad	Cálculo	Capacidad
Registro	2 × 60/5	24 muestras/h
Análisis	3 × 60/8	22,5 muestras/h
Validación	1 × 60/3	20 muestras/h

Cuello de botella: validación. Capacidad del proceso: 20 muestras por hora.

Un solo profesional de 3 minutos parece la actividad más rápida del proceso, y sin embargo es la que lo frena: lo que manda no es el tiempo por unidad sino m/p. Tres minutos con una persona rinden menos que ocho minutos con tres.

c) Utilización con 18 muestras/hora

Registro 18/24 = 75% · Análisis 18/22,5 = 80% · Validación 18/20 = 90%

d) Con 21 muestras/hora

21 > 20 = capacidad del proceso → no es estable
Flujo real de salida: 20 muestras/h
Acumulación: 21 − 20 = 1 muestra por hora, sin techo

Las muestras se acumulan delante de validación. Registro (21/24 = 87,5%) y análisis (21/22,5 = 93,3%) todavía tienen holgura, así que dejan pasar las 21, pero validación solo puede sacar 20 y la diferencia se apila indefinidamente.

Propuesto · colasDesarrollo propio

Propuesto 2 · Taller de bicicletas

Un solo mecánico. Llega una bicicleta cada 10 minutos (desviación 8 min). El tiempo de procesamiento es de 8 minutos (desviación 4 min).

CV_a, CV_p y utilización. ¿Es estable?
T_q y T con la aproximación de un servidor.
Con Ley de Little: I_q y el total I de bicicletas en el proceso.
Un sistema de citas baja la desviación entre llegadas a 4 minutos. Nuevo T_q y reducción porcentual.

a) Coeficientes

CV_a = 8/10 = 0,8 · CV_p = 4/8 = 0,5
ρ = p / (m × a) = 8 / (1 × 10) = 0,80 → estable

b) Tiempos

Con m = 1 el exponente es √(2 × 2) − 1 = 1, así que la fórmula queda en su versión simple:
T_q = p × [ρ/(1−ρ)] × [(CV_a² + CV_p²)/2]

ρ/(1−ρ) = 0,80/0,20 = 4
factor de variabilidad = (0,64 + 0,25)/2 = 0,445
T_q = 8 × 4 × 0,445 = 14,24 minutos
T = 14,24 + 8 = 22,24 minutos

c) Ley de Little

R = 1/10 = 0,1 bicicletas/min
I_q = 0,1 × 14,24 = 1,42 bicicletas esperando
I = 0,1 × 22,24 = 2,22 bicicletas en el taller

d) Con sistema de citas

CV_a = 4/10 = 0,4 · ρ no cambia, sigue en 0,80
nuevo factor de variabilidad = (0,16 + 0,25)/2 = 0,205
T_q = 8 × 4 × 0,205 = 6,56 minutos
Reducción = (14,24 − 6,56)/14,24 = 53,9%

Ordenar las llegadas corta la espera a la mitad sin contratar a nadie ni trabajar más rápido. Es la lección central del tema: la variabilidad cuesta plata igual que la falta de capacidad.

Propuesto · Ley de LittleDesarrollo propio

Propuesto 3 · Punto de retiro de pedidos

Se atienden 30 pedidos por hora. Hay en promedio 8 pedidos dentro del proceso, de los cuales 5 están esperando en cola. El flujo es estable.

Tiempo promedio en el proceso T.
Tiempo promedio en cola T_q.
Tiempo de procesamiento promedio p.
Si los pedidos esperando bajan a 3 con el mismo flujo y el mismo p: nuevos T_q y T, y reducción porcentual.

Little se puede aplicar a todo el proceso o a un pedazo, siempre que uses el inventario y el tiempo del mismo pedazo. Acá se usa tres veces: para el total, para la cola y para la parte en atención.

a) Tiempo en el proceso

R = 30 pedidos/h = 0,5 pedidos/min
T = I/R = 8 / 0,5 = 16 minutos

b) Tiempo en cola

T_q = I_q/R = 5 / 0,5 = 10 minutos

c) Tiempo de procesamiento

p = T − T_q = 16 − 10 = 6 minutos
Se comprueba con la parte en atención: I − I_q = 8 − 5 = 3 pedidos → 3 / 0,5 = 6 minutos ✅

d) Después de la mejora

I_q = 3 → T_q = 3 / 0,5 = 6 minutos
T = 6 + 6 = 12 minutos
Reducción del tiempo en cola = (10 − 6)/10 = 40%

Con el mismo flujo y el mismo tiempo de atención, sacar 2 pedidos de la cola baja la espera 40% y el tiempo total 25%. Little no explica por qué bajó el inventario, solo traduce inventario en tiempo, pero esa traducción es la que convierte "hay menos gente esperando" en un número que se puede llevar a una reunión.

EOQPauta oficial

Ayudantía 6 · Problema 1 · TextiLand INC.

📄 Ayudantía 6 · EOQ · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Primavera 2025 · profs. Leandro Magga y Simón Maturana. Enunciado y pauta oficial del curso (Ayudantía 6 Pauta.pdf).

Camisetas urbanas a $18. Demanda constante 250 unidades/semana. Proveedor: $7 por camiseta + $15 fijo por pedido. Costo anual de mantener inventario: 18% del valor unitario. Año comercial de 50 semanas.

¿Cuántas camisetas pedir a la vez?
Costo total de pedidos durante un año.
Costo total de mantenimiento durante un año.
Rotación de inventario.

P = $18 · C = $7 · S = $15 · i = 18%
D_semanal = 250 → D_anual = 250 × 50 = 12.500 unidades
H = C × i = 18% × 7 = $1,26

a) EOQ

Q* = √(2 × 15 × 12.500 / 1,26) = 545,55 camisetas

b) Costo total de pedidos

CT_pedido = (D/EOQ) × S = (12.500 / 545,55) × 15 = $343,69

c) Costo total de mantenimiento

CT_mant = (EOQ/2) × H = (545,55/2) × 1,26 = $343,69

Los dos costos dan idéntico. Esa es la propiedad del EOQ y es el mejor chequeo de que hiciste bien la raíz.

d) Rotación de inventario

Nivel promedio de inventario = EOQ/2 = 272,775
Rotaciones = D / inventario promedio = 12.500 / 272,775 = 45,83 veces al año

EOQ + stock de seguridadPauta oficial

Ayudantía 6 · Problema 2 · TechSupply S.A.

Cables tipo C. Demanda 80 unidades/semana. Costo de adquisición $1,2, se venden a $4,5. Costo de pedido $20. Tasa de interés anual 22%. Año de 50 semanas.
Luego: la demanda semanal resulta ser Normal(80; 25) y el proveedor entrega 1 semana después.

Cantidad óptima y tiempo entre pedidos.
Costos anuales de mantenimiento y preparación.
Inventario de seguridad para evitar quiebres con 98% de probabilidad.
Punto de reorden.

a) EOQ y tiempo entre pedidos

D_anual = 80 × 50 = 4.000 · C = $1,2 · S = $20 · i = 22% → H = 22% × 1,2 = $0,264
Q* = √(2 × 20 × 4.000 / 0,264) = 778,50 unidades
T = Q*/D = 778,50 / 4.000 = 0,1946 años (≈ 9,7 semanas)

b) Costos anuales

Mantenimiento = (Q*/2) × H = (778,50/2) × 0,264 = $102,76
Preparación = (S × D)/Q* = (20 × 4.000)/778,50 = $102,76 ✅

c) Inventario de seguridad al 98%

media = 80 · desv = 25 · L = 1 semana
z = DISTR.NORM.ESTAND.INV(98%) = 2,05
SS = z × σ × √L = 2,05 × 25 × √1 = 51,34 unidades

d) Punto de reorden

Demanda durante el lead time = 80 × 1 = 80
R = 80 + 51,34 = 131,34 unidades

EOQ + comparación de proveedoresPauta oficial

Ayudantía 6 · Problema 3 · Nature Drink

120 botellas de concentrado al mes. Proveedor local: $18 por botella, $60 fijo por entrega. Almacenamiento $1,5 por botella al mes, costo de capital 1,8% mensual.
Oferta alternativa: $14 por botella y $400 fijo por entrega, mismo costo de almacenamiento y capital.

Cantidad que minimiza los costos de inventario.
Pedidos al año.
Meses de suministro promedio.
Gasto mensual en mantener inventario.
¿Qué proveedor conviene?

Aquí H se calcula mensual, porque el enunciado da el almacenamiento por mes. Consistencia de unidades: si H es mensual, hay que tenerlo claro al mezclar con D anual.

a) EOQ

D_mensual = 120 → D_anual = 1.440 · C = $18 · S = $60
H_mensual = (h + i) × C = 1,5 + (1,8% × 18) = $1,824
Q* = √(2 × 60 × 1.440 / 1,824) = 307,79 botellas

b) Pedidos al año

D/Q* = 1.440 / 307,79 = 4,68 pedidos al año

c) Meses de suministro

Inventario promedio = Q*/2 = 153,90
Meses de suministro = 153,90 / 120 = 1,28 meses

d) Gasto mensual de mantención

(Q*/2) × H = 153,90 × 1,824 = $280,71 al mes

e) Comparación de proveedores

Importador: C = $14 · S = $400 · H = 1,5 + (1,8% × 14) = $1,752
Q** = √(2 × 400 × 1.440 / 1,752) = 810,88

CT_importador = (1.440/810,88)×400 + 1,752×(810,88/2) + 14×1.440 = $21.580,67
CT_local = (1.440/307,79)×60 + 1,824×(307,79/2) + 18×1.440 = $26.481,42

Conviene el proveedor importador: ahorra $4.900,75. El costo de pedido mucho más alto ($400 respecto a $60) se compensa con creces por los $4 menos por botella sobre 1.440 botellas.

PL con binariasPauta oficial

Ayudantía 7 · Ejercicio 1 · Producción con variables binarias

📄 Ayudantía 7 · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Primavera 2025 · profs. Leandro Magga y Simón Maturana. Enunciado y pauta oficial del curso (Ayudantía_N_7___Pauta.pdf).

Producto A: 3 h en taller 1 y 2 h en taller 2, beneficio $50. Producto B: 2 h en taller 1 y 4 h en taller 2, beneficio $40. Taller 1 tiene 60 h, taller 2 tiene 48 h. Solo se puede producir un producto si se alquila la capacidad necesaria.

a) Variables de decisión

x₁ = unidades de producto A a producir
x₂ = unidades de producto B a producir
y₁ = 1 si se decide producir A, 0 si no (binaria)
y₂ = 1 si se decide producir B, 0 si no (binaria)

b) Restricciones

Taller 1: 3x₁ + 2x₂ ≤ 60
Taller 2: 2x₁ + 4x₂ ≤ 48
Activación: x₁ ≤ M·y₁ · x₂ ≤ M·y₂
No negatividad: x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0
Binarias: y₁, y₂ ∈ {0, 1}

M debe ser suficientemente grande para que x₁ y x₂ solo puedan ser mayores que cero si su binaria vale 1.

c) Función objetivo

Maximizar Z = 50x₁ + 40x₂

Una buena elección de M es el máximo que físicamente podrías producir: para A, mín(60/3, 48/2) = 20; para B, mín(60/2, 48/4) = 12. Un M demasiado grande hace que Solver converja lento y con errores numéricos.

PL · fábrica automotrizPauta oficial

Ayudantía 7 · Ejercicio 2 · Fábrica automotriz

📄 Ayudantía 7 · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Primavera 2025 · profs. Leandro Magga y Simón Maturana. Enunciado y pauta oficial del curso (Ayudantía_N_7___Pauta.pdf).

Producto	Taller 1	Taller 2	Beneficio	Demanda	Almacenaje	Impuesto
Motores (x₁)	2	3	$40	50	$7/u	$15/u
Chasis (x₂)	3	2	$50	30	$9/u	$20/u
Transmisiones (x₃)	1	4	$60	40	$14/u	$30/u

Capacidad Taller 1: 250 · Taller 2: 300. La bodega tiene capacidad máxima de 100 unidades.

a) Variables

x₁ = motores · x₂ = chasis · x₃ = transmisiones a producir

b) Restricciones

Taller 1: 2x₁ + 3x₂ + x₃ ≤ 250
Taller 2: 3x₁ + 2x₂ + 4x₃ ≤ 300
Demanda: x₁ ≤ 50 · x₂ ≤ 30 · x₃ ≤ 40
No negatividad: x₁, x₂, x₃ ≥ 0

c) Función objetivo

Maximizar Z = 40x₁ + 50x₂ + 60x₃

d) Con la bodega

Se agrega la restricción de capacidad de almacenamiento:

x₁ + x₂ + x₃ ≤ 100 (capacidad de la bodega)

e) Nueva función objetivo con costos de bodega

Maximizar Z = 40x₁ + 50x₂ + 60x₃ − 7x₁ − 9x₂ − 14x₃

Los primeros tres términos son el beneficio de producir; los siguientes tres, el costo de almacenar cada unidad.

f) Con los impuestos

Maximizar Z = 40x₁ + 50x₂ + 60x₃ − 7x₁ − 9x₂ − 14x₃ − 15x₁ − 20x₂ − 30x₃

Simplificando los márgenes netos:
Z = 18x₁ + 21x₂ + 16x₃

Ese es el punto del ejercicio: los impuestos cambian el orden de preferencia. Antes de impuestos, las transmisiones eran las más rentables ($60 respecto a $50 y $40). Después de bodega e impuestos, los chasis pasan a ser los mejores ($21) y las transmisiones caen al último lugar ($16). La solución óptima se reordena por completo.

g) Resolver con Solver

Arma los tres escenarios en hojas separadas (base, con bodega, con impuestos), corre Simplex LP en cada uno, y saca el reporte de sensibilidad. Compara: qué restricciones están activas en cada escenario y cómo cambian los precios sombra de los talleres.

Marca del 1 al 5 qué tan seguro te sientes con cada tema. Se guarda en tu navegador, no se manda a ningún lado. 1 = ni idea · 5 = lo explico yo.

⚠️ Material de apoyo, NO oficial. Las soluciones marcadas como Pauta oficial vienen de las pautas del cuerpo docente. Las marcadas como Desarrollo propio las calculé yo a partir del enunciado y pueden tener errores: contrástalas con tu pauta. Preparado por Fernando Parot.

EOQ y políticas de inventario

El modelo EOQ determina cuánto pedir para equilibrar dos costos: hacer muchos pedidos pequeños es caro por las tarifas de preparación, mientras que pedir grandes cantidades eleva el costo de mantener inventario.

Objetivo. Calcular la cantidad económica de pedido, sus costos, el tiempo entre pedidos, el inventario de seguridad y el punto de reorden. También se debe mantener la coherencia de las unidades: si el costo de mantenimiento es mensual, la demanda debe estar expresada en unidades mensuales.

1. Cantidad económica de pedido

En simple. Imagina que una tienda compra camisetas. Si pide una sola cada vez, paga muchas veces el despacho. Si compra demasiadas, las camisetas permanecen guardadas y ocupan capital. El EOQ busca el punto medio más barato.

Fórmula formal:

EOQ = Q* = √(2SD/H)

D: demanda del período; S: costo fijo por pedido; H: costo de mantener una unidad durante el mismo período.

En TextiLand, D = 250 × 50 = 12.500 camisetas al año, S = $15 y H = $7 × 18% = $1,26 por camiseta al año.

Q* = √[(2 × 15 × 12.500) / 1,26] = 545,55 camisetas. En la práctica, la empresa podría pedir aproximadamente 546 unidades.

2. Costos relevantes del EOQ

En simple. El costo de pedir aumenta cuando se hacen muchos pedidos. El costo de mantener aumenta cuando cada pedido es grande. En el EOQ, ambos costos quedan prácticamente iguales, porque ese equilibrio minimiza la suma.

Fórmulas:

Costo anual de pedidos = (D/Q) × S

Costo anual de mantenimiento = (Q/2) × H

Para TextiLand:

Pedidos al año = 12.500 / 545,55 = 22,91 pedidos.

Costo de pedidos = 22,91 × $15 = $343,69 al año.

Inventario promedio = 545,55 / 2 = 272,78 camisetas.

Costo de mantenimiento = 272,78 × $1,26 = $343,69 al año.

El costo relevante total es $687,38 al año, sin incluir el costo de compra de las camisetas.

3. Tiempo entre pedidos y rotación

En simple. El tiempo entre pedidos indica cuánto dura, en promedio, una compra antes de necesitar la siguiente. La rotación indica cuántas veces se renueva el inventario durante un período.

Fórmulas:

Tiempo entre pedidos = Q/D

Rotación = demanda del período / inventario promedio

En TechSupply, D = 80 × 50 = 4.000 cables al año, S = $20 y H = $1,2 × 22% = $0,264 por cable al año.

Q* = √[(2 × 20 × 4.000) / 0,264] = 778,50 cables.

Tiempo entre pedidos = 778,50 / 4.000 = 0,1946 años, equivalente a 9,73 semanas.

El inventario promedio de TextiLand es 272,78 unidades. Por lo tanto, su rotación anual es 12.500 / 272,78 = 45,83 veces al año. Si se pide rotación semanal, debe usarse la demanda semanal: 250 / 272,78 = 0,92 veces por semana. No se debe dividir una demanda anual por un inventario promedio y llamar al resultado rotación semanal.

4. Inventario de seguridad y punto de reorden

En simple. El inventario de seguridad es una reserva para los días en que los clientes compran más de lo normal. Es como llevar un paraguas porque podría llover: no siempre se usa, pero evita quedar sin protección cuando ocurre el problema.

Fórmulas formales:

SS = z × σ × √L

ROP = demanda esperada durante L + SS

SS: inventario de seguridad; z: nivel de servicio; σ: desviación estándar de la demanda por período; L: tiempo de entrega.

En TechSupply, la demanda semanal tiene media 80 cables y desviación estándar 25. El proveedor demora L = 1 semana. Para una probabilidad de no quiebre de 98%, z = 2,05.

SS = 2,05 × 25 × √1 = 51,25 cables.

La demanda esperada durante la entrega es 80 × 1 = 80 cables. Entonces:

ROP = 80 + 51,25 = 131,25 cables.

La empresa debe emitir un pedido cuando la posición de inventario llegue aproximadamente a 132 cables. La cifra 51,344 de la pauta es una diferencia de redondeo o cálculo; con z = 2,05 y σ = 25, el resultado directo es 51,25.

5. Cuidado con las unidades: caso Nature Drink

En simple. No puedes medir la velocidad de un auto en kilómetros por hora y compararla con una distancia medida en metros sin convertir. En inventarios, demanda, costo de mantenimiento y costo de pedido deben estar expresados en el mismo período.

Nature Drink consume 120 botellas al mes. El costo de almacenamiento es $1,5 por botella al mes y el costo de capital es 1,8% mensual sobre un precio de $18.

H mensual = $1,5 + (1,8% × $18) = $1,824.

Como H es mensual, se debe usar D mensual = 120:

Q* = √[(2 × 60 × 120) / 1,824] = 88,86 botellas.

Pedidos al año = (120 × 12) / 88,86 = 16,20 pedidos.

Inventario promedio = 88,86 / 2 = 44,43 botellas, equivalente a 44,43 / 120 = 0,37 meses de suministro.

Costo mensual de mantenimiento = 44,43 × $1,824 = $81,03.

La pauta utiliza demanda anual de 1.440 junto con un H mensual de $1,824, lo que mezcla períodos y entrega un EOQ de 307,79. Ese cálculo no es consistente. Si se anualiza H, debe multiplicarse por 12: H anual = $21,888, y usar D anual = 1.440; el resultado vuelve a ser 88,86 unidades.

6. Comparación de proveedores

En simple. El proveedor más barato por botella no necesariamente es el más conveniente: también importan el costo fijo de entrega y el costo de mantener el inventario. La comparación correcta suma los tres costos.

Costo total anual = costo de compra + costo de pedidos + costo de mantenimiento

Proveedor actual: precio $18, S = $60 y H anual = 12 × $1,824 = $21,888.

Con Q* = 88,86:

Compra = 1.440 × $18 = $25.920.

Pedidos = (1.440 / 88,86) × $60 = $972,00.

Mantenimiento = (88,86 / 2) × $21,888 = $972,00.

Costo total anual actual = $27.864,00.

Proveedor importador: precio $14, S = $400 y H mensual = $1,5 + (1,8% × $14) = $1,752. Por año, H = $21,024.

Q* = √[(2 × 400 × 120) / 1,752] = 234,08 botellas.

Compra = 1.440 × $14 = $20.160.

Pedidos = (1.440 / 234,08) × $400 = $2.460,00.

Mantenimiento = (234,08 / 2) × $21,024 = $2.460,00.

Costo total anual importador = $25.080,00.

El importador conviene porque ahorra $2.784,00 al año, pese a que cobra $400 por entrega. La razón principal es que el precio unitario baja de $18 a $14.

Idea clave para la prueba: EOQ minimiza pedidos más mantenimiento. Primero fija un período común para D y H; después calcula Q*, inventario promedio, costos, tiempo entre pedidos y, si existe incertidumbre, inventario de seguridad y punto de reorden.

GEO · Tarea IV

Revenue Management y Pricing

Resumen aplicado de los problemas de SurBus, AndinaAir, Hotel Alrest y el emprendimiento de medialunas. La idea común es decidir cuánto inventario proteger, cuánto vender y a qué precio cuando la demanda es incierta.

Objetivo

Maximizar el ingreso esperado asignando capacidad a clientes con distinta disposición a pagar, considerando también el costo de sobrar, quedarse corto o vender por sobre la capacidad disponible.

1. Regla crítica de protección

En simple: imagina que tienes asientos para dos tipos de pasajeros. Los clientes de último minuto pagan más, por lo que conviene guardar algunos asientos para ellos. Pero si guardas demasiados, podrías terminar con asientos vacíos o con productos de menor valor.

La cantidad óptima se encuentra con el fractil crítico:

Fractil crítico = C_u / (C_u + C_o)

C_u: costo de quedarse corto, normalmente el margen perdido por no atender al cliente caro.
C_o: costo de proteger de más, normalmente el ingreso que se pierde si el asiento queda vacío o se usa en una alternativa menos rentable.

Se protege la menor cantidad y cuya probabilidad acumulada de demanda sea al menos igual al fractil crítico.

Ejemplo: SurBus

Un asiento vendido anticipadamente genera $10.000 y uno vendido a último minuto genera $20.000. Si se protege un asiento para último minuto:

C_u = $20.000 - $10.000 = $10.000.
C_o = $10.000, porque vender anticipadamente era la alternativa sacrificada.
Fractil crítico = 10.000 / (10.000 + 10.000) = 0,50.

La distribución acumulada llega a 0,40 con demanda 21 y a 0,52 con demanda 22. Por lo tanto, se deben proteger 22 asientos para ventas de último minuto.

Si el asiento no vendido puede transportar encomiendas por $6.000, el costo de proteger de más baja a $10.000 - $6.000 = $4.000. Entonces:

Fractil crítico = 10.000 / (10.000 + 4.000) = 0,7143.

La acumulada es 0,65 para demanda 23 y 0,77 para demanda 24. La nueva protección óptima es de 24 asientos. Al existir una alternativa rentable para el asiento sobrante, conviene proteger más capacidad para clientes de último minuto.

Si se protegen 20 asientos, quedan vacíos cuando la demanda de último minuto es menor que 20:

P(D < 20) = 0,05 + 0,07 + 0,08 = 0,20.

La probabilidad de asientos vacíos es, por tanto, 20%.

2. Overbooking con distribución Poisson

En simple: una aerolínea vende algunos boletos extra porque sabe que ciertos pasajeros no llegarán. Si faltan muchos, el avión sale con asientos vacíos. Si faltan pocos, hay más pasajeros que asientos y se debe compensar a algunos.

Si el avión tiene capacidad K, se venden K + y boletos. Si X es el número de no-show, los pasajeros que no pueden embarcar son:

Máx(y - X, 0)

La utilidad esperada de vender un asiento adicional aumenta en $180.000, pero genera un costo esperado de $350.000 cuando los no-show son menores o iguales que la cantidad de sobreventa. La condición marginal es:

$180.000 - $350.000 · P(X ≤ y) ≥ 0.

Por lo tanto, se sigue aumentando el overbooking mientras:

P(X ≤ y) ≤ 180.000 / 350.000 = 0,5143.

Ejemplo: AndinaAir

Para X ~ Poisson(20), la tabla entrega F(19) = 0,470257 y F(20) = 0,559093. Como el umbral 0,5143 queda entre ambos valores, la cantidad óptima de asientos a sobrevender es 20.

El avión tiene 210 asientos, por lo que la cantidad total de boletos a vender es:

210 + 20 = 230 boletos.

Si se sobrevenden 25 asientos, se venden 235 boletos. El vuelo sale completamente lleno cuando se presentan al menos 210 pasajeros:

235 - X ≥ 210 ⟺ X ≤ 25.

La probabilidad es P(X ≤ 25) = F(25) = 0,887815, es decir, aproximadamente 88,78%.

Si se venden 230 boletos, los pasajeros rechazados son Máx(20 - X, 0). La tabla entrega una pérdida esperada L(20) = 0,559093 pasajeros. El costo esperado es:

0,559093 · $350.000 = $195.682,55.

3. Protección de habitaciones con demanda normal

En simple: el hotel debe decidir cuántas habitaciones guardar para personas que llegan sin reserva y pagan más. Guardar una habitación puede ser bueno si llega ese cliente, pero malo si nadie aparece y la habitación queda vacía.

Con tarifa anticipada de $65.000 y tarifa sin reserva de $90.000:

C_u = $90.000 - $65.000 = $25.000.
C_o = $65.000, ingreso sacrificado si la habitación protegida queda vacía.
Fractil crítico = 25.000 / (25.000 + 65.000) = 0,2778.

Si la demanda D ~ N(μ, σ), la protección continua es:

y* = μ + z_0,2778σ, donde z_0,2778 ≈ -0,59.

Ejemplo: Hotel Alrest

En el escenario inicial, μ = 23 y σ = 9:

y* = 23 - 0,59 · 9 = 17,69.

Se protegen aproximadamente 18 habitaciones para clientes sin reserva y se dejan 67 habitaciones para reservas anticipadas.

La sobreprotección esperada, usando la pérdida normal, es aproximadamente:

E[(18 - D)⁺] ≈ 1,6 habitaciones.

En diciembre, μ = 39 y σ = 6:

y* = 39 - 0,59 · 6 = 35,46.

Se protegen aproximadamente 36 habitaciones y se dejan 49 para reservas anticipadas. La sobreprotección esperada baja a aproximadamente 1,2 habitaciones. Si la desviación estándar siguiera siendo 9, la protección sería aproximadamente 34 habitaciones. La menor variabilidad permite usar un colchón menor, porque hay menos incertidumbre alrededor de la demanda.

4. Pricing y cantidad de medialunas

En simple: subir el precio deja fuera a algunas personas, pero aumenta el margen de cada venta. Bajar el precio atrae más clientes, aunque puede hacer que producir cada unidad sea menos rentable.

La valoración individual es normal, con μ = $600 y σ = $150. La demanda potencial diaria es Poisson con λ = 15. A precio p, solo compran quienes valoran el producto por encima de p:

λ(p) = 15 · [1 - F(p)].

Como el costo marginal es c = $200, el fractil crítico para elegir la cantidad Q, dado un precio p, es:

CR = (p - c) / p = 1 - 200/p.

Luego, Q corresponde al cuantil de una Poisson con tasa λ(p) asociado a ese fractil.

Aplicación numérica

Con un precio cercano a $500:

La probabilidad de compra es aproximadamente 0,748.
λ(p) ≈ 15 · 0,748 = 11,22 medialunas.
CR = (500 - 200) / 500 = 0,60.
La cantidad óptima entera es aproximadamente Q = 12.

La venta esperada es cercana a 9,7 unidades diarias. Por ello, la utilidad diaria aproximada es:

500 · 9,7 - 200 · 12 ≈ $2.650.

El precio y la cantidad exactos deben verificarse evaluando precios vecinos y cuantiles Poisson, porque Q cambia discretamente.

5. Pricing multiperiodo y simulación

En simple: TPL compra vestidos antes de conocer la demanda. Primero vende caro, después ofrece un descuento y finalmente remata lo que queda. La decisión correcta depende del resultado de muchas temporadas posibles, no de una sola predicción.

Para cada simulación se calcula:

Ventas de la primera etapa: Ventas 1 = mín(Q, D1).
Sobrantes iniciales: Sobrantes 1 = máx(Q - D1, 0).
Demanda de descuento: D2 = 1.000p^-2.
Ventas 2: el mínimo entre D2 y los sobrantes iniciales.
Sobrantes 2: inventario restante después de la segunda etapa.
Utilidad total: (10 - 3)Ventas 1 + (p - 3)Ventas 2 - (3 - 2)Sobrantes 2.

Se simulan 1.000 valores de D1, se prueban distintos pares (Q, p) y Solver maximiza la utilidad promedio. La comparación con Newsvendor tradicional debe hacerse usando las mismas 1.000 realizaciones, para que la diferencia provenga del mecanismo de tres etapas y no de muestras distintas.

Idea para la prueba: el fractil crítico siempre compara el costo de quedarse corto con el costo de proteger o comprar de más. En overbooking, la variable incierta son los no-show; en hoteles, la demanda de clientes de mayor tarifa; en pricing, el precio modifica directamente la tasa de demanda.

Problem Set 2 · Newsvendor (Primavera 2026, profesor Simón Maturana, ayudantes Fernanda Acevedo, Diego Pinto y Kamila Bustos). Es material de estudio: no se entrega, pero hay un quiz presencial por cada problem set, así que estos cuatro problemas son el mejor predictor del quiz de Newsvendor. Todas las soluciones son Desarrollo propio: las calculé del enunciado, no hay pauta publicada.

Las cuatro fórmulas que ocupan los cuatro problemas. C_u = p − c (lo que pierdes por cada unidad que te faltó) · C_o = c − v (lo que pierdes por cada unidad que te sobró) · Ratio crítico = C_u/(C_u+C_o) · se pide el menor Q con F(Q) ≥ ratio crítico. Con tabla se lee directo, con Poisson se acumula, con normal es Q* = μ + z·σ. Todo lo demás del problem set son variantes de esto.

Newsvendor discreto · tabla de demandaDesarrollo propio

Problema 1 · Sombreros Felices, la peluca de Elvis

Sombreros Felices concentra el 80% de sus ventas en las 6 semanas de Halloween. La peluca de Elvis se fabrica en China, así que hay un solo pedido antes de la temporada. Alejandro espera una demanda de 25.000 unidades y maneja el pronóstico de la Tabla 1. Se vende a $12 USD (el retail la vende a $25, pero ese no es el ingreso de Sombreros Felices), cuesta $6 USD producirla y los sobrantes se liquidan a $2,5 USD.

Q	Prob(D=Q)	F(Q)	Q	Prob(D=Q)	F(Q)
5.000	0,0183	0,0183	45.000	0,0298	0,9787
10.000	0,0733	0,0916	50.000	0,0132	0,9919
15.000	0,1465	0,2381	55.000	0,0053	0,9972
20.000	0,1954	0,4335	60.000	0,0019	0,9991
25.000	0,1954	0,6289	65.000	0,0006	0,9997
30.000	0,1563	0,7852	70.000	0,0002	0,9999
35.000	0,1042	0,8894	75.000	0,0001	1,0000
40.000	0,0595	0,9489

Si ordena 40.000 pelucas, ¿cuál es la probabilidad de liquidar 10.000 o más con descuento?
¿Cuál es la cantidad a pedir que maximiza las ganancias esperadas? Evaluar la ganancia en cada escenario de demanda y promediarla ponderada por su probabilidad.
¿Cuáles son las ganancias esperadas si piden 40.000 unidades?

a) Probabilidad de liquidar 10.000 o más

Sobrantes con Q = 40.000: max(40.000 − D, 0)
Sobrar 10.000 o más ⟺ 40.000 − D ≥ 10.000 ⟺ D ≤ 30.000
P(D ≤ 30.000) = F(30.000) = 0,7852

78,52% de probabilidad de terminar liquidando 10.000 pelucas o más.

El truco es traducir "me sobran 10.000 o más" a una condición sobre la demanda, no sobre el pedido. Una vez traducido, es leer una sola celda de la columna F(Q). Ojo con el sentido de la desigualdad: sobrar mucho es que la demanda sea baja.

b) Cantidad que maximiza la ganancia esperada

C_u = p − c = 12 − 6 = 6 (margen que se pierde por cada peluca que faltó)
C_o = c − v = 6 − 2,5 = 3,5 (plata que se pierde por cada peluca que sobró)
Ratio crítico = 6 / (6 + 3,5) = 0,6316

Menor Q con F(Q) ≥ 0,6316: F(25.000) = 0,6289 < 0,6316 → no alcanza
F(30.000) = 0,7852 ≥ 0,6316 → Q* = 30.000

Q* = 30.000 pelucas, con ganancia esperada de US$113.006.

El enunciado pide llegar por el camino largo, evaluando escenario por escenario. Da lo mismo:

Q pedido	E[ganancia]	Q pedido	E[ganancia]
20.000	US$103.470	40.000	US$93.463
25.000	US$112.879	45.000	US$78.390
30.000	US$113.006	50.000	US$61.902
35.000	US$105.709	55.000	US$44.786

Los dos métodos tienen que coincidir siempre, y sirve de chequeo mutuo en el quiz. Fíjate en lo plana que es la curva entre 25.000 y 30.000 (US$112.879 contra US$113.006, 0,1% de diferencia): la función de ganancia esperada del Newsvendor es chata cerca del óptimo, así que equivocarse por poco en Q casi no cuesta. Alejarse sí: 40.000 ya bota 17% de la ganancia.

c) Ganancia esperada pidiendo 40.000

Ganancia(D) = 12 · min(D, 40.000) + 2,5 · max(40.000 − D, 0) − 6 · 40.000

D	Prob	Vende	Liquida	Ganancia	Aporte
5.000	0,0183	5.000	35.000	−92.500	−1.692,75
10.000	0,0733	10.000	30.000	−45.000	−3.298,50
15.000	0,1465	15.000	25.000	2.500	366,25
20.000	0,1954	20.000	20.000	50.000	9.770,00
25.000	0,1954	25.000	15.000	97.500	19.051,50
30.000	0,1563	30.000	10.000	145.000	22.663,50
35.000	0,1042	35.000	5.000	192.500	20.058,50
40.000 y más	0,1106	40.000	0	240.000	26.544,00

E[ganancia | Q = 40.000] = US$93.462,50, unos US$19.500 menos que el óptimo de 30.000.

Con demanda de 5.000 o 10.000 la ganancia es negativa: se vende tan poco que ni liquidando el resto se cubre el costo de haber producido 40.000. Ese par de escenarios malos, aunque poco probables, es lo que castiga a los pedidos grandes. A partir de 40.000 todas las filas dan lo mismo (240.000), porque más demanda ya no se puede atender.

Newsvendor normal · fill rateDesarrollo propio

Problema 2 · Retailer de abrigos de invierno

Un retailer decide cuántos abrigos encargar para la temporada. La demanda histórica se aproxima por una normal de media 10.000 y desviación estándar 3.500. El precio de venta es 20% más que el precio de compra y el salvataje es el 40% del precio de compra.

Coeficiente de variación de la demanda. ¿Cómo se compara con el de una exponencial de media 5.000?
Con el ratio crítico, el pedido que maximiza utilidades. Repetir con simulación y comparar.
Nivel de utilidades con ese pedido.
Pedido tal que el Fill Rate sea 95%, y su nivel de utilidades.
¿Por qué podría preferirse garantizar un nivel de servicio por sobre maximizar utilidades? Dar un ejemplo.

Como el enunciado da todo en porcentajes del precio de compra, se trabaja con c = 1: p = 1,2 y v = 0,4. Las utilidades quedan expresadas en múltiplos de c, y el resultado no depende del precio real.

a) Coeficiente de variación

CV = σ / μ = 3.500 / 10.000 = 0,35

Exponencial: su desviación estándar siempre es igual a su media, entonces σ = μ = 5.000
CV_exp = 5.000 / 5.000 = 1,0

La demanda de abrigos (CV = 0,35) es bastante menos variable que una exponencial (CV = 1), que es casi el triple.

El CV de la exponencial es 1 por definición, no hay que calcular nada: la media 5.000 del enunciado es un distractor. Es el mismo CV = 1 del proceso de llegadas de Poisson que se usó en colas.

b) Pedido que maximiza utilidades

p = 1,2c · c = c · v = 0,4c
C_u = p − c = 1,2c − c = 0,2c
C_o = c − v = c − 0,4c = 0,6c
Ratio crítico = 0,2 / (0,2 + 0,6) = 0,25

Buscar 0,25 en el cuerpo de la tabla normal:
Φ(−0,68) = 0,2483 · Φ(−0,67) = 0,2514 → z ≈ −0,67, exacto −0,6745
Con tabla de solo z positivos: busca 1 − 0,25 = 0,75, da 0,67, y ocupas −0,67.
Q* = μ + z·σ = 10.000 − 0,6745 × 3.500 = 7.639 abrigos

Q* ≈ 7.639 unidades, bastante por debajo de la demanda media de 10.000.

Acá está la trampa del problema: sobrar cuesta el triple que faltar (0,6c contra 0,2c), así que el ratio crítico es 0,25 y z sale negativo. Con márgenes flacos y salvataje malo, lo correcto es pedir menos que la media y asumir que se van a perder ventas. Una simulación con las mismas cifras converge al mismo Q*, porque el ratio crítico es exactamente la condición de primer orden de esa utilidad esperada.

c) Utilidades con ese pedido

L(z) = φ(z) − z·[1 − Φ(z)], con z = −0,6745:
  φ(−0,6745) = 0,3989 · e^−0,2275 = 0,3989 × 0,7966 = 0,3178
  1 − Φ(z) = 1 − 0,25 = 0,7500
  L(z) = 0,3178 − (−0,6745)(0,7500) = 0,3178 + 0,5059 = 0,8237 (restar un negativo es sumar)
Ventas perdidas = σ · L(z) = 3.500 × 0,8237 = 2.883
Ventas esperadas = 10.000 − 2.883 = 7.117
Sobrantes = 7.639 − 7.117 = 522

Utilidad = 1,2c(7.117) + 0,4c(522) − c(7.639) = 1.110c

Utilidad esperada ≈ 1.110 veces el precio de compra unitario. Si el abrigo costara $100, serían $111.023.

d) Pedido con Fill Rate de 95%

Fill Rate = ventas esperadas / demanda esperada = 1 − σ·L(z)/μ
0,95 = 1 − 3.500·L(z)/10.000 → L(z) = 0,05 × 10.000/3.500 = 0,1429

L(z) = 0,1429 → z = +0,70
Q = 10.000 + 0,70 × 3.500 = 12.450 abrigos

Ventas esperadas = 9.500 · Sobrantes = 2.950
Utilidad = 1,2c(9.500) + 0,4c(2.950) − c(12.450) = 130c

Para un Fill Rate de 95% hay que pedir 12.450 abrigos, y la utilidad cae de 1.110c a 130c: un 88% menos.

El Fill Rate del pedido óptimo es apenas 71,2% (7.117 de 10.000). Subirlo a 95% obliga a pasar de 7.639 a 12.450 unidades, un 63% más de compra. De esas 4.811 unidades extra, la mitad (2.428) termina rematada a 0,4c y solo la otra mitad se vende: como cada venta agrega 0,2c y cada sobrante resta 0,6c, el saldo es negativo y por eso la utilidad se desploma. La distancia entre 71% y 95% es la respuesta a la pregunta 5.

e) Por qué preferir el nivel de servicio

Maximizar utilidad optimiza una temporada aislada.
El Fill Rate protege lo que el modelo no mide: recompra, contrato y reputación.

El Newsvendor supone que el cliente que no encuentra el abrigo simplemente no compra, y ahí termina el costo. En la realidad ese cliente se va a la competencia y puede no volver la próxima temporada, un costo que C_u no captura. Se prefiere garantizar servicio cuando:

Hay contrato de por medio. Un proveedor de una cadena de retail con un SLA de 95% paga multas o pierde el espacio en góndola si baja de ahí, y esa multa no está en el C_u del modelo.
El producto es crítico. Insumos médicos o repuestos de una línea de producción: el costo real de un quiebre es el pabellón parado, no el margen del insumo.
El producto es de entrada. Si el abrigo es lo que trae gente a la tienda, un quiebre también se lleva la venta cruzada del resto del carro.

En resumen: se sacrifica utilidad de esta temporada para comprar valor de largo plazo que el modelo de un período no sabe contar.

Newsvendor Poisson · valor de la informaciónDesarrollo propio

Problema 3 · Chocolates en La Pecera

Emprendimiento de chocolates en La Pecera. Cada mañana se compran los chocolates y no hay reabastecimiento durante el día. Precio al público $10, costo $5, y lo que sobra se vende a los familiares a $3 (se vende todo). La demanda de un día normal sigue una Poisson de tasa λ = 15 clientes/día.

Cantidad óptima de chocolates a comprar al inicio del día.
Ordenando 20 diarios: a) probabilidad de quedarse sin stock, b) ventas esperadas, c) chocolates esperados vendidos a la familia, d) utilidades esperadas.
Si una funcionalidad confiable entregara el número exacto de compradores del día, ¿cuánto se estaría dispuesto a pagar por ella?

a) Cantidad óptima

C_u = p − c = 10 − 5 = 5
C_o = c − v = 5 − 3 = 2
Ratio crítico = 5 / (5 + 2) = 0,7143

Ahora hay que acumular la Poisson(15) hasta pasar 0,7143.
Cada término sale del anterior: P(D=k+1) = P(D=k) × λ/(k+1)
P(D=16) = 0,0960 → F(16) = 0,6641 < 0,7143 → no alcanza
P(D=17) = 0,0960 × 15/17 = 0,0847 → F(17) = 0,6641 + 0,0847 = 0,7489 ≥ 0,7143
Excel: =POISSON.DIST(17; 15; VERDADERO) → 0,7489
Q* = 17 chocolates

Q* = 17 chocolates al día, dos más que la demanda media de 15, con utilidad esperada de $65,62.

Acá C_u > C_o (perder una venta cuesta $5, que sobre uno cuesta $2), así que el ratio crítico pasa de 0,5 y conviene pedir por sobre la media. Es el caso opuesto al de los abrigos, y es lo que hay que saber leer en el quiz: quién es más caro define de qué lado de la media queda Q*.

b) Ordenando 20 chocolates

b1) Quedarse sin stock
P(D > 20) = 1 − F(20) = 1 − 0,9170 = 0,0830

b2) Ventas esperadas E[min(D, 20)] = Σ_k=0..19 [1 − F(k)] = 14,79 chocolates

b3) A la familia E[max(20 − D, 0)] = 20 − 14,79 = 5,21 chocolates

b4) Utilidad 10(14,79) + 3(5,21) − 5(20) = 147,88 + 15,64 − 100 = $63,51

Con 20 chocolates: 8,30% de quedar sin stock, se venden 14,79 al público, 5,21 a la familia y la utilidad es $63,51, unos $2 bajo el óptimo de 17.

Ojo con el criterio de stock-out, que es el error más común del quiz. El curso lo define siempre como D > Q, o sea 1 − F(Q), no 1 − F(Q−1). Así aparece en las tres pautas oficiales de la Ayudantía 2 ("existe stock-out cuando D > 7", "cuando D > 5", y en EcoRun "Pr(D > Q*) = 1 − Φ(z)"). La razón de fondo es que tiene que cumplirse in-stock + stock-out = 1, y el in-stock está definido como F(Q) = P(D ≤ Q). Con 1 − F(19) las dos medidas sumarían 1,04, que es imposible. Y ojo con la identidad de b2: para una variable discreta no negativa, E[min(D,Q)] es la suma de las colas 1 − F(k) hasta Q−1, mucho más rápido que sumar k·P(D=k) término a término.

c) Valor de la información perfecta

Con información perfecta: se compra exactamente la demanda del día, nunca falta ni sobra.
Utilidad = (p − c) · E[D] = (10 − 5) × 15 = $75,00

Sin información (pidiendo el óptimo Q* = 17) = $65,62

Valor = 75,00 − 65,62 = $9,38 por día

La disposición máxima a pagar es $9,38 diarios (unos $280 al mes), un 12,5% de la utilidad ideal.

Ese valor es exactamente el costo de la incertidumbre: lo que la variabilidad de la demanda se come, aun jugando óptimo. Es tope, no precio: si el sistema cobra más de $9,38 al día, no conviene ni siendo perfecto. Con información perfecta ya no hay Newsvendor, el problema desaparece y solo queda el margen unitario por la demanda media.

Newsvendor normal · capacidad y costo de oportunidadDesarrollo propio

Problema 4 · AndesTech y la estufa CalorMax

AndesTech emite la orden de producción de la estufa CalorMax a su fábrica en China a inicios de primavera, antes de conocer la demanda. Producir cuesta $800, se vende a $1.000 y lo que no se vende se remata a $550. La demanda es normal de media 10.000 y desviación estándar 4.000.

Coeficiente de variación de la demanda. Comparar con una exponencial de media 5.000.
Con 11.000 unidades ordenadas, probabilidad de cubrir toda la demanda.
Si el objetivo es maximizar beneficios, ¿de qué tamaño debería ser la orden?
Nivel de utilidades con ese pedido.
La planta tiene capacidad de 12.000 unidades. EuroHeat ofrece $100 por unidad de capacidad y cubre todos los costos de manufactura. ¿Cuánta capacidad conviene venderle?

a) Coeficiente de variación

CV = 4.000 / 10.000 = 0,40 · CV_exponencial = 1,0 siempre

CalorMax (0,40) es menos variable que una exponencial, aunque más que los abrigos del problema 2 (0,35).

b) Probabilidad de cubrir la demanda con 11.000

z = (11.000 − 10.000) / 4.000 = 0,25
P(D ≤ 11.000) = Φ(0,25) = 0,5987

59,87% de probabilidad de tener unidades suficientes. Poco más que echarlo a la suerte.

Pedir 1.000 unidades sobre la media suena a colchón cómodo, pero con σ = 4.000 ese colchón es apenas un cuarto de desviación. Cuando el CV es alto, alejarse de la media casi no mueve la probabilidad.

c) Orden que maximiza beneficios

C_u = 1.000 − 800 = 200 · C_o = 800 − 550 = 250
Ratio crítico = 200 / (200 + 250) = 0,4444

Buscar 0,4444 en el cuerpo de la tabla normal:
Φ(−0,14) = 0,4443 · Φ(−0,13) = 0,4483 → z ≈ −0,14, exacto −0,1397
Q* = 10.000 − 0,1397 × 4.000 = 9.441 unidades

Q* ≈ 9.441 estufas, por debajo de la media y muy por debajo de las 11.000 ya ordenadas.

Sobrar ($250) cuesta más que faltar ($200), así que el ratio crítico queda bajo 0,5 y Q* cae bajo la media. Las 11.000 de la pregunta 2 son un sobrepedido: producir esas 1.559 unidades de más resta unos $54.000 de utilidad esperada.

d) Utilidades con ese pedido

L(z) = φ(z) − z·[1 − Φ(z)], con z = −0,1397:
  φ(−0,1397) = 0,3989 · e^−0,0098 = 0,3989 × 0,9903 = 0,3951
  1 − Φ(z) = 1 − 0,4444 = 0,5556
  L(z) = 0,3951 − (−0,1397)(0,5556) = 0,3951 + 0,0776 = 0,4727
Ventas perdidas = 4.000 × 0,4727 = 1.891
Ventas esperadas = 10.000 − 1.891 = 8.109
Sobrantes = 9.441 − 8.109 = 1.332

Utilidad = 1.000(8.109) + 550(1.332) − 800(9.441) = $1.288.878

Utilidad esperada ≈ $1.288.878. Con las 11.000 previas serían $1.234.580 y usando toda la capacidad de 12.000, apenas $1.143.966.

e) Cuánta capacidad venderle a EuroHeat

Cada unidad de capacidad cedida rinde $100 seguros (EuroHeat cubre la manufactura).
Esa misma unidad, produciendo CalorMax, rinde un margen esperado incierto:

margen marginal de la unidad Q-ésima = C_u·[1 − F(Q)] − C_o·F(Q)

Conviene producir mientras ese margen supere los $100:
200[1 − F(Q)] − 250·F(Q) = 100 → 200 − 450·F(Q) = 100 → F(Q) = 0,2222

Buscar 0,2222 en el cuerpo de la tabla normal:
Φ(−0,77) = 0,2206 · Φ(−0,76) = 0,2236 → z ≈ −0,76, exacto −0,7647
Q producir = 10.000 − 0,7647 × 4.000 = 6.941 unidades
Capacidad a vender = 12.000 − 6.941 = 5.059 unidades

Conviene venderle a EuroHeat ≈ 5.059 unidades de capacidad y producir solo 6.941 CalorMax. El beneficio total sube a $1.663.958, contra $1.288.878 sin el trato: $375.080 más.

Vende a EuroHeat	Produce CalorMax	Beneficio total
0	12.000	$1.143.966
1.000	11.000	$1.334.580
2.000	10.000	$1.481.904
3.000	9.000	$1.584.580
4.000	8.000	$1.643.966
5.059	6.941	$1.663.958

Por qué conviene tanto ceder capacidad. Los $100 de EuroHeat son ciertos y sin riesgo de inventario, mientras que el margen de producir es esperado: solo se gana $200 si esa unidad efectivamente se vende, y se pierden $250 si sobra. La ecuación pide el punto donde ambas cosas se igualan, y ese punto está muy abajo, en 6.941, bastante por debajo del Q* de 9.441 del punto c). Es el mismo Newsvendor de siempre, pero con el costo de oportunidad de la capacidad sumado al C_o: ahora sobrar cuesta $250 de remate más $100 de arriendo perdido.

Cuidado con responder "vender 12.000 − 9.441 = 2.559", que es el error natural. La oferta de EuroHeat cambia el problema: al aparecer un uso alternativo rentable y seguro para cada unidad de capacidad, el pedido óptimo de CalorMax baja, no se queda en el Q* anterior.

Lo que se repite en los cuatro problemas. El ratio crítico manda siempre, y su posición respecto a 0,5 dice de qué lado de la media queda Q*: chocolates 0,7143 (pide sobre la media), pelucas 0,6316 (sobre la media), AndesTech 0,4444 y abrigos 0,25 (bajo la media). Lo único que cambia entre problemas es cómo se lee F(Q): tabla en el 1, normal con z en el 2 y el 4, Poisson acumulada en el 3. Y cuando aparece un uso alternativo para el inventario o la capacidad, entra al C_u o al C_o antes de calcular el ratio, nunca después.

Ayudantía 2 · Newsvendor (Primavera 2026, ayudantes Fernanda Acevedo, Diego Pinto y Kamila Bustos). Los tres problemas de la sesión, con la Pauta oficial del ayudante: los números de acá salen del PDF de pauta publicado en Canvas, no son cálculo mío. Los tres problemas propuestos están en la pestaña 📝 Práctica adicional.

Las cuatro fórmulas de la pauta. C_u = p − c · C_o = c − s · RC = C_u/(C_u+C_o) · Q* = μ + zσ. Lo único que cambia entre los tres problemas es cómo se lee F(Q): normal con z, tabla discreta acumulada, o Poisson acumulada.

Demanda normal · fill ratePauta oficial

Problema 1 · Botellas EcoRun

📄 Ayudantía 2 · Newsvendor · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Primavera 2026 · prof. Simón Maturana. Enunciado y pauta oficial del curso (Ayudantía_Newsvendor_Enunciado.pdf).

EcoRun Santiago venderá botellas reutilizables durante una corrida urbana. Hace un único pedido antes del evento y no puede reponer durante la jornada. La demanda es Normal con μ = 420 y σ = 90. Cada botella se vende a $18.000, cuesta $10.000 y las sobrantes se liquidan a $6.000.

Calcule C_u, C_o y el ratio crítico.
Determine Q*. Indique la fórmula de Excel y recomiende una cantidad entera.
Para Q*, calcule la probabilidad de stock-out, las ventas perdidas esperadas y el fill rate.
Calcule la utilidad esperada para Q* e interprete por qué el pedido queda por encima o por debajo de la demanda promedio.

a) C_u, C_o y ratio crítico

C_u = p − c = 18.000 − 10.000 = $8.000 (lo que se deja de ganar cuando falta una botella)
C_o = c − s = 10.000 − 6.000 = $4.000 (pérdida neta por cada botella que sobra)

RC = 8.000 / (8.000 + 4.000) = 0,6667

C_u = $8.000 · C_o = $4.000 · RC = 66,67%

b) Cantidad óptima

Paso 1. Buscar 0,6667 en el cuerpo de la tabla normal:
Φ(0,43) = 0,6664 · Φ(0,44) = 0,6700 → el más cercano es z ≈ 0,43
interpolando: z = 0,4307 (=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,6667))
Paso 2. Llevarlo a unidades del problema:
Q* = μ + zσ = 420 + 0,4307 × 90 = 458,77

En Excel: =INV.NORM(0,6667;420;90)

Q* teórico = 458,77 botellas. Como decisión operativa se recomienda pedir 459 botellas.

c) Stock-out, ventas perdidas y fill rate

Pr(stock-out) = Pr(D > Q*) = 1 − Φ(z) = 1 − 0,6667 = 0,3333

L(z) = φ(z) − z·[1 − Φ(z)], con z = 0,4307. Las tres piezas:
  φ(0,4307) = 0,3989 · e^{−0,4307²/2} = 0,3989 × 0,9114 = 0,3636
  1 − Φ(z) = 1 − 0,6667 = 0,3333 (Φ(z) es el ratio crítico)
  L(z) = 0,3636 − 0,4307 × 0,3333 = 0,3636 − 0,1436 = 0,2200
E[ventas perdidas] = σ·L(z) = 90 × 0,2200 = 19,80
E[ventas] = 420 − 19,80 = 400,20

Fill rate = 400,20 / 420 = 0,9529

Stock-out = 33,33% · ventas perdidas = 19,80 botellas · fill rate = 95,29%

Ojo con la diferencia entre las dos medidas: la probabilidad de stock-out es 33%, pero el fill rate es 95%. No se contradicen: una cuenta eventos (en un tercio de las corridas se acaba el stock) y la otra cuenta unidades (del total de botellas pedidas por la gente, se entrega el 95%). Cuando falta, falta poco. Es exactamente lo que la pauta pregunta en el problema 2d.

d) Utilidad esperada

E[sobras] = Q* − E[ventas] = 458,77 − 400,20 = 58,57

E[U] = C_u·E[ventas] − C_o·E[sobras]
E[U] = 8.000 × 400,20 − 4.000 × 58,57 = $2.967.312

Utilidad esperada ≈ $2.967.312, y Q* > μ porque el faltante cuesta el doble que el sobrante.

Fíjate en la forma de escribir la utilidad que usa la pauta: E[U] = C_u·E[ventas] − C_o·E[sobras]. Es equivalente a p·ventas + s·sobras − c·Q, pero mucho más rápida y deja a la vista de dónde sale la plata. Conviene memorizar esta.

Demanda discreta · in-stock respecto a fill ratePauta oficial

Problema 2 · Fonda de Don Pancho

La fonda prepara cajas de alfajores para una fonda de un día. Solo puede producir antes del evento. Cada caja se vende a $13.000, cuesta $7.000 y las cajas sobrantes se venden al cierre a $3.000. La demanda tiene la siguiente distribución discreta:

Demanda D (cajas)	Probabilidad
60	0,10
80	0,20
100	0,35
120	0,25
140	0,10

Complete la probabilidad acumulada y calcule C_u, C_o y RC.
Use el criterio del fractil crítico para determinar Q*.
Para Q ∈ {60, 80, 100, 120, 140}, calcule la utilidad esperada y verifique que el máximo coincida con Q*.
Para Q*, calcule la probabilidad in-stock y el fill rate. Explique por qué no son iguales.

a) Acumulada y ratio crítico

C_u = 13.000 − 7.000 = $6.000 · C_o = 7.000 − 3.000 = $4.000
RC = 6.000 / (6.000 + 4.000) = 0,60

D (cajas)	P(D)	F(D)
60	0,10	0,10
80	0,20	0,30
100	0,35	0,65
120	0,25	0,90
140	0,10	1,00

C_u = $6.000 · C_o = $4.000 · RC = 60%

b) Fractil crítico

La acumulada se arma sumando las probabilidades de la tabla:
  F(60) = 0,10
  F(80) = 0,10 + 0,20 = 0,30
  F(100) = 0,30 + 0,35 = 0,65

Se escoge el menor Q cuya acumulada alcance el ratio crítico:
F(80) = 0,30 < 0,60 ≤ F(100) = 0,65

Q* = 100 cajas

c) Utilidad esperada por cantidad

Ventas = min(D, Q) · Sobras = max(Q − D, 0) · Pérdidas = max(D − Q, 0)
U(D,Q) = C_u × Ventas − C_o × Sobras, ponderado por la probabilidad de cada D

Q	E[Ventas]	E[Sobras]	E[Pérdidas]	E[U]
60	60,0	0,0	41,0	$360.000
80	78,0	2,0	23,0	$460.000
100	92,0	8,0	9,0	$520.000
120	99,0	21,0	2,0	$510.000
140	101,0	39,0	0,0	$450.000

La mayor utilidad esperada es $520.000 con Q = 100, que confirma el fractil crítico.

Ojo con lo plana que es la curva entre 100 y 120: $520.000 contra $510.000, menos de 2%. En Excel esto se arma con MIN, MAX y SUMAPRODUCTO.

d) In-stock respecto a fill rate

Pr(in-stock) = Pr(D ≤ 100) = F(100) = 0,65

E[D] = 60(0,10) + 80(0,20) + 100(0,35) + 120(0,25) + 140(0,10) = 101
Con Q = 100 las ventas esperadas son 92 cajas
Fill rate = 92 / 101 = 0,9109

In-stock = 65% · fill rate = 91,09%

Por qué difieren: el in-stock cuenta períodos completamente satisfechos (en el 65% de las fondas no se acaba ni una caja), mientras el fill rate cuenta la proporción de unidades de demanda que sí se atienden (91 de cada 100 cajas pedidas se entregan). El fill rate casi siempre es mayor, porque cuando falta, normalmente falta poco.

Demanda Poisson · nivel de servicioPauta oficial

Problema 3 · Kits de diagnóstico Ruta Salud

Ruta Salud realizará una campaña médica en una localidad rural. La demanda diaria de kits sigue una Poisson con λ = 8,4. Cada test aplicado genera un ingreso de $28.000, cada kit cuesta $15.000 y los sobrantes se liquidan a $5.000.

Con 7 kits, probabilidad de que parte de la demanda no pueda atenderse. Con 12 kits, probabilidad de que sobren al menos 3.
Calcule C_u, C_o y RC. Determine Q* usando POISSON.DIST.
Cantidad mínima que permite satisfacer toda la demanda con al menos 90% de probabilidad.

a) Dos probabilidades

Con 7 kits hay stock-out cuando D > 7:
Pr(D > 7) = 1 − Pr(D ≤ 7) = 0,6013
Excel: =1-POISSON.DIST(7;8,4;VERDADERO)

Con 12 kits, que sobren al menos 3 significa 12 − D ≥ 3 ⟺ D ≤ 9:
Pr(D ≤ 9) = 0,6659
Excel: =POISSON.DIST(9;8,4;VERDADERO)

Con 7 kits el stock-out es 60,13%. Con 12 kits, la probabilidad de que sobren 3 o más es 66,59%.

La segunda parte es la que más se equivoca: hay que traducir "sobran al menos 3" a una condición sobre la demanda (D ≤ 9) antes de ir a la tabla. Es el mismo movimiento que pide el Problema 1 del Problem Set 2.

b) Ratio crítico y Q*

C_u = 28.000 − 15.000 = $13.000 · C_o = 15.000 − 5.000 = $10.000
RC = 13.000 / (13.000 + 10.000) = 0,5652

Acumulando la Poisson(8,4) hasta pasar 0,5652:
P(D=8) = 0,1382 → F(8) = 0,5369 < 0,5652 → no alcanza
P(D=9) = 0,1382 × 8,4/9 = 0,1290 → F(9) = 0,5369 + 0,1290 = 0,6659 ≥ 0,5652
Excel: =POISSON.DIST(9; 8,4; VERDADERO) → 0,6659

C_u = $13.000 · C_o = $10.000 · RC = 56,52% · Q* = 9 kits

c) Cantidad para 90% de servicio

Se busca el menor entero Q con F(Q) ≥ 0,90:
F(11) = 0,8571 · F(12) = 0,9150

Se necesitan 12 kits, la primera cantidad con F(Q) ≥ 90%.

Compara los dos criterios sobre el mismo problema: maximizar utilidad pide 9 kits, garantizar 90% de servicio pide 12. Un tercio más de inventario para cubrir la cola de la distribución. Ese salto es el costo del nivel de servicio, y es justo lo que el problema propuesto 3 hace calcular en plata.

Práctica adicional · los 3 problemas propuestos de la Ayudantía 2. Son los que quedaron para resolver solo, y la Pauta oficial del ayudante los trae desarrollados: los números de acá salen de ese PDF. Uno de cada tipo de distribución, así que sirven de simulacro de quiz. Los tres problemas resueltos en la sesión están en 📦 Ayudantía 2.

Normal · efecto de reducir σPauta oficial

Propuesto 1 · Ramos Conecta

📄 Problemas propuestos de la Ayudantía 2 · Newsvendor · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Primavera 2026 · prof. Simón Maturana. Enunciado y pauta oficial del curso (Ayudantía_Newsvendor_Enunciado.pdf).

Ramos Conecta arma ramos para el Día de la Madre. La demanda es Normal con μ = 260 y σ = 55. El precio es $32.000, el costo $18.000 y el salvataje $10.000.

Calcule C_u, C_o y RC.
Determine Q* y recomiende una cantidad entera.
Calcule las ventas perdidas esperadas, el fill rate y la utilidad esperada.
Si una mejora del pronóstico reduce σ a 35, recalcule todo e interprete el efecto de reducir la incertidumbre.

a) y b) Ratio crítico y cantidad óptima

C_u = 32.000 − 18.000 = $14.000 · C_o = 18.000 − 10.000 = $8.000
RC = 14.000 / (14.000 + 8.000) = 0,6364

Buscar 0,6364 en el cuerpo de la tabla normal:
Φ(0,34) = 0,6331 · Φ(0,35) = 0,6368 → z ≈ 0,35, exacto 0,3488
Q* = 260 + 0,3488 × 55 = 279,18
Excel: =INV.NORM(0,6364;260;55)

RC = 63,64% · Q* = 279,18, se recomiendan 279 ramos.

c) Ventas perdidas, fill rate y utilidad

L(z) = φ(z) − z·[1 − Φ(z)], con z = 0,3488:
  φ(0,3488) = 0,3989 · e^−0,0608 = 0,3989 × 0,9410 = 0,3754
  1 − Φ(z) = 1 − 0,6364 = 0,3636
  L(z) = 0,3754 − 0,3488 × 0,3636 = 0,3754 − 0,1268 = 0,2486
E[ventas perdidas] = 55 × 0,2486 = 13,67
E[ventas] = 260 − 13,67 = 246,33
Fill rate = 246,33 / 260 = 0,9474
E[sobras] = 279,18 − 246,33 = 32,85

E[U] = 14.000 × 246,33 − 8.000 × 32,85 = $3.185.762

Ventas perdidas = 13,67 · fill rate = 94,74% · utilidad = $3.185.762

d) Con un pronóstico mejor (σ = 35)

El ratio crítico y z NO cambian (0,6364 y 0,3488): dependen de precios y costos, no de σ.

Q* = 260 + 0,3488 × 35 = 272,21
E[ventas perdidas] = 35 × 0,2486 = 8,70
E[ventas] = 260 − 8,70 = 251,30
Fill rate = 251,30 / 260 = 0,9665
E[U] = $3.350.939

Con σ = 35 el pedido baja a 272,21, el fill rate sube a 96,65% y la utilidad aumenta $165.177.

Este es el resultado más importante de los tres propuestos: reducir la incertidumbre mejora las dos cosas a la vez, pides menos y sirves mejor, porque bajan simultáneamente las ventas perdidas y los sobrantes. Es lo contrario de imponer un nivel de servicio, que compra servicio pagando utilidad (propuesto 3). Ojo con el detalle de que z no se recalcula: solo cambia el colchón zσ.

Discreta · in-stock respecto a fill ratePauta oficial

Propuesto 2 · Merchandising de un concierto

Un productor venderá poleras en un concierto. Cada polera se vende a $22.000, cuesta $13.000 y se liquida a $5.000. La demanda posible es:

Demanda D (poleras)	Probabilidad
150	0,15
200	0,30
250	0,35
300	0,20

Construya la acumulada y calcule C_u, C_o y RC.
Determine Q* mediante el fractil crítico.
Compare la utilidad esperada para Q = 200, 250 y 300.
Para Q*, calcule la probabilidad in-stock y el fill rate.

a) y b) Acumulada, ratio crítico y Q*

C_u = 22.000 − 13.000 = $9.000 · C_o = 13.000 − 5.000 = $8.000
RC = 9.000 / (9.000 + 8.000) = 0,5294

D	P(D)	F(D)
150	0,15	0,15
200	0,30	0,45
250	0,35	0,80
300	0,20	1,00

Acumulando: F(150) = 0,15 · F(200) = 0,15 + 0,30 = 0,45 · F(250) = 0,45 + 0,35 = 0,80

Menor Q con F(Q) ≥ 0,5294: F(200) = 0,45 < 0,5294 ≤ F(250) = 0,80

RC = 52,94% · Q* = 250 poleras

c) Utilidad esperada

U(D,Q) = 9.000·min(D,Q) − 8.000·max(Q−D, 0), ponderado por probabilidad

Q	E[Ventas]	E[Sobras]	E[U]
200	192,5	7,5	$1.672.500
250	220,0	30,0	$1.740.000
300	230,0	70,0	$1.510.000

La mayor utilidad es $1.740.000 con Q = 250, que confirma el fractil crítico.

d) In-stock y fill rate

Pr(D ≤ 250) = F(250) = 0,80

E[D] = 230 · E[ventas] = 220
Fill rate = 220 / 230 = 0,9565

In-stock = 80% · fill rate = 95,65%

Acá el RC (0,5294) queda apenas sobre 0,5 porque C_u y C_o son casi iguales ($9.000 contra $8.000). Con la demanda discreta eso igual empuja a 250, porque 200 no alcanza a cubrir el ratio. Cuidado con pedir 300 "por si acaso": bota $230.000 de utilidad esperada.

Poisson · lo que cuesta el nivel de servicioPauta oficial

Propuesto 3 · Reactivos para talleres escolares

Un laboratorio prepara reactivos para talleres escolares. La demanda por jornada sigue una Poisson con λ = 5,5. Cada pack se cobra a $45.000, cuesta $24.000 y se recupera a $8.000 al final del día.

Probabilidad de stock-out si se preparan 5 packs.
Calcule C_u, C_o, RC y Q*.
Cantidad mínima para alcanzar una probabilidad in-stock de 95%.
Utilidad esperada con Q* y con la cantidad de servicio anterior. Interprete la diferencia.

a) Stock-out con 5 packs

Hay stock-out cuando D > 5:
Pr(D > 5) = 1 − Pr(D ≤ 5) = 0,4711
Excel: =1-POISSON.DIST(5;5,5;VERDADERO)

Probabilidad de stock-out = 47,11%

b) Ratio crítico y Q*

C_u = 45.000 − 24.000 = $21.000 · C_o = 24.000 − 8.000 = $16.000
RC = 21.000 / (21.000 + 16.000) = 0,5676

Acumulando la Poisson(5,5) hasta pasar 0,5676:
P(D=5) = 0,1714 → F(5) = 0,5289 < 0,5676 → no alcanza
P(D=6) = 0,1714 × 5,5/6 = 0,1571 → F(6) = 0,5289 + 0,1571 = 0,6860 ≥ 0,5676
Excel: =POISSON.DIST(6; 5,5; VERDADERO) → 0,6860

RC = 56,76% · Q* = 6 packs

c) Cantidad para 95% de in-stock

F(9) = 0,9462 < 0,95 ≤ F(10) = 0,9747

Se requieren 10 packs.

d) Lo que cuesta el nivel de servicio

Con Q = 6: E[ventas] = 4,7928 · E[sobras] = 1,2072
E[U] = 21.000(4,7928) − 16.000(1,2072) = $81.335

Con Q = 10: E[ventas] = 5,4567 · E[sobras] = 4,5433
E[U] = 21.000(5,4567) − 16.000(4,5433) = $41.899

Pérdida = 81.335 − 41.899 = $39.436

Exigir 95% de in-stock cuesta $39.436, casi la mitad de la utilidad del pedido óptimo.

Mira la mecánica: pasar de 6 a 10 packs sube las ventas esperadas apenas de 4,79 a 5,46 (menos de un pack), pero los sobrantes se disparan de 1,21 a 4,54, casi cuatro veces. Toda unidad extra cae en la cola de la Poisson, donde casi nunca hay demanda que la ocupe. Esa asimetría es la respuesta a "por qué el servicio alto es caro", y es la misma lección del Fill Rate de 95% del Problem Set 2.

Simulación Monte Carlo del Newsvendor · la planilla Newsvendor montecarlo - SO Gail parka.xlsx que el profesor usó en clase. Los números de acá salen de esa planilla y están verificados contra la fórmula: cada resultado simulado se comparó con el Newsvendor analítico. La gracia de esta pestaña es entender por qué la simulación y la fórmula no dan exactamente lo mismo.

Parkas de Gail · demanda normalPlanilla del curso

El montaje de la planilla

Gail vende parkas y hace un solo pedido antes de la temporada. La demanda es Normal con μ = 1.017 y σ = 388. El precio es $110, el costo $83,6 y el salvataje $74,8. La planilla genera muchas demandas posibles, calcula qué habría pasado con cada pedido Q y promedia.

¿Cuál es el pedido óptimo por la fórmula del ratio crítico?
¿Qué pedido señala la simulación como el mejor y por qué no es exactamente el mismo número?
¿Qué pedido se necesita para un fill rate de 95% y cuánto cuesta?

a) El óptimo por fórmula

C_u = p − c = 110 − 83,6 = $26,40
C_o = c − s = 83,6 − 74,8 = $8,80
Ratio crítico = 26,40 / (26,40 + 8,80) = 0,75

Buscar 0,75 en el cuerpo de la tabla normal:
Φ(0,67) = 0,7486 · Φ(0,68) = 0,7517 → z ≈ 0,67, exacto 0,6745
Q* = 1.017 + 0,6745 × 388 = 1.278,70

Q* = 1.278,7 parkas, que la planilla redondea a 1.279. Es exactamente el valor que aparece en la celda "Q*=" de la hoja Montecarlo base (5).

Fíjate en el ratio 0,75 redondo: no es casualidad, C_u es exactamente el triple de C_o. Con el salvataje tan alto ($74,8 de un costo de $83,6, o sea se recupera el 89%) sobrar sale barato, así que conviene pedir bastante sobre la media.

b) Cómo se arma cada fila de la simulación

Demanda = un número al azar de una Normal(1.017, 388)
Ventas = min(Demanda, Q)
Sobrantes = max(Q − Demanda, 0)
Utilidad = 110 × Ventas + 74,8 × Sobrantes − 83,6 × Q

Con Q = 1.279 la planilla promedia sus repeticiones y llega a 1.014,4 de venta media, 264,6 de sobrante medio y $24.452 de utilidad media. Después barre distintos Q y arma la curva:

Q	Utilidad simulada	Utilidad por fórmula	Diferencia
900	$21.557	$20.125	+6,6%
1.000	$23.136	$21.245	+8,2%
1.100	$24.015	$22.006	+8,4%
1.200	$24.376	$22.416	+8,0%
1.300	$24.441	$22.502	+7,9%
1.400	$24.216	$22.312	+7,9%
1.600	$23.330	$21.320	+8,6%
2.000	$20.285	$18.174	+10,4%

Las dos curvas tienen el máximo en el mismo lugar (cerca de 1.279) pero la simulada corre unos $2.000 más arriba. Eso no es un error de la fórmula ni de la planilla.

c) De dónde sale la diferencia

La simulación de la planilla usa 51 repeticiones.

Media teórica de la demanda = 1.017
Media de las 51 demandas sorteadas = 1.076,3 → 59 unidades más alta
Desviación de la muestra = 343,3 contra 388 teórica

Si se rehace el cálculo analítico usando la media y la desviación de la muestra en vez de las teóricas, el resultado calza:

Q	Simulado	Fórmula con μ de la muestra	Diferencia
1.200	$24.376	$24.372	0,02%
1.279	$24.452	$24.560	0,44%
1.300	$24.441	$24.573	0,54%

La brecha era error de muestreo: con 51 sorteos, la muestra quedó por casualidad con demanda alta, y una demanda más alta produce más utilidad con cualquier Q.

La lección de esta pestaña. Una simulación Monte Carlo no es más exacta que la fórmula, es una aproximación que converge a ella cuando las repeticiones crecen. Con 51 filas el ruido es de casi 10% en el nivel de utilidad. Lo que sí sobrevive al ruido es dónde está el máximo, porque el error afecta parecido a todos los Q. Por eso la simulación sirve para decidir el pedido y no tanto para prometer la utilidad exacta. Si en el quiz te piden comparar ambos métodos, esta es la respuesta: mismo óptimo, distinto nivel, y la culpa es del tamaño de la muestra.

d) El pedido para un fill rate de 95%

Fill rate = 1 − σ·L(z)/μ
0,95 → L(z) = 0,05 × 1.017/388 = 0,1311 → z = 0,7505
Q = 1.017 + 0,7505 × 388 = 1.308

La planilla usa Q = 1.313 en la hoja FillRate y obtiene un fill rate simulado de 0,9499. La fórmula da 0,9511 para ese mismo Q, prácticamente lo mismo. La tabla de fill rate por cantidad:

Q	Fill rate simulado	Fill rate por fórmula
1.000	0,8430	0,8393
1.100	0,8894	0,8851
1.200	0,9222	0,9211
1.300	0,9471	0,9482
1.400	0,9644	0,9674

Acá simulación y fórmula calzan casi perfecto (diferencias bajo 0,5 puntos), porque el fill rate es una razón y el sesgo de la muestra se cancela arriba y abajo.

Ojo con este contraste, que es fino y suma en una prueba: el mismo muestreo que descuadra la utilidad en 8% deja el fill rate casi intacto. Las cantidades en nivel (plata) heredan el sesgo de la muestra; las expresadas como proporción lo cancelan. En este caso el pedido para 95% de servicio (1.308) queda muy cerca del óptimo de utilidad (1.279) porque el salvataje alto hace barato el inventario extra, al revés de los abrigos del Problem Set 2.

Pedidos óptimos y error de pronóstico · Le Club Français du Vin · la planilla Le_Club_afterClass.xlsx con la que el profesor cerró el caso. Acá está cómo se arma un Newsvendor de verdad, cuando ni μ ni σ vienen dados: hay que sacarlos del historial de pronósticos. Los números son de esa planilla y están verificados: reproduje la construcción de C_o y C_u al centavo y el Q de los 30 vinos.

Razón A/F · sacar μ y σ del pronósticoPlanilla del curso

Paso 1 · Convertir el historial de pronósticos en una distribución

Le Club arma un catálogo de vinos y pide una sola vez a cada productor. No tiene "demanda histórica" de un vino nuevo, pero sí sabe qué tan bien le achuntó a sus pronósticos pasados. La razón A/F = Actual / Forecast convierte ese historial en la distribución del error. El historial del Exhibit 1 es este:

Vino (Exhibit 1)	Forecast	Actual
Montagne St-Émilion	10.000	1.704
Bordeaux Ch. Bordeneuve	1.800	612
Lirac Dne Duseigneur	900	540
Côtes du Rhône	10.000	11.280
Châteauneuf du Pape	300	703

¿Cómo se pasa de una lista de pronósticos fallados a una μ y una σ para un producto nuevo?
¿Qué significa que la media de A/F no sea 1?
Calcule μ y σ para Faugères, cuyo pronóstico es de 12.000 botellas.

a) La razón A/F, vino por vino

A/F = Demanda real / Pronóstico

A/F < 1 → se vendió menos de lo pronosticado (se pronosticó de más)
A/F > 1 → se vendió más de lo pronosticado

Vino (Exhibit 1)	Forecast	Actual	A/F
Montagne St-Émilion	10.000	1.704	0,170
Bordeaux Ch. Bordeneuve	1.800	612	0,340
Lirac Dne Duseigneur	900	540	0,600
Côtes du Rhône	10.000	11.280	1,128
Châteauneuf du Pape	300	703	2,343

Sobre los vinos del Exhibit 1, la planilla obtiene:

media de A/F = 0,8653 · desviación de A/F = 0,3978
CV = 0,3978 / 0,8653 = 0,46

Para un vino nuevo con pronóstico F: μ = F × 0,8653 y σ = F × 0,3978.

Ese 0,8653 en vez de 1 es un hallazgo, no un detalle técnico: Le Club pronostica sistemáticamente de más, en promedio un 13,5%. Y el CV de 0,46 dice que el error típico es casi la mitad del pronóstico, o sea la incertidumbre es enorme. Las dos cosas entran directo al pedido: la media corrige el sesgo y la desviación dimensiona el colchón.

Ejemplo con Faugères, que tiene un pronóstico de 12.000 botellas:

μ = 12.000 × 0,8653 = 10.383
σ = 12.000 × 0,3978 = 4.774

C_o y C_u con costos de bodegaPlanilla del curso

Paso 2 · Construir C_u y C_o cuando el inventario cuesta guardarlo

Acá el C_o no es el simple "c − s" de los ejercicios de ayudantía. Una botella que sobra se queda meses en bodega antes de rematarse, y esos meses cuestan. Los parámetros de la hoja Co_Cu: costo de la botella 50% del precio, flete 1,25 por botella, costo de capital 15% anual, bodega 0,1 por mes. Un tinto pasa 15 meses en inventario y se remata con 30% de descuento; un blanco o rosado pasa 8 meses y se remata con 40%.

Arme C_u y C_o para un tinto y obtenga su ratio crítico.
¿Por qué el ratio crítico cambia de un vino a otro si los porcentajes son los mismos?

a) Las dos piezas, con Aloxe Corton (tinto, precio €21,90)

Costo de traer la botella
costo botella = 50% × 21,90 = 10,95
flete = 1,25
costo total = 12,20

C_u (falta una botella): se pierde el margen
C_u = precio − costo total = 21,90 − 12,20 = €9,70

C_o (sobra una botella): se pagó, se guardó 15 meses y se remató
bodega = 0,1 × 15 meses = 1,50
capital = 15% anual × 10,95 × (15/12) = 2,053
remate = 21,90 × (1 − 0,30) = 15,33
C_o = 12,20 + 1,50 + 2,053 − 15,33 = €0,423

RC = 9,70 / (9,70 + 0,423) = 0,9582

Ratio crítico de 95,8%: para este vino casi no hay castigo por sobrar, así que conviene pedir muchísimo.

Dos detalles finos de la planilla que es fácil equivocar: el costo de capital se calcula solo sobre la botella (10,95), no sobre botella más flete; y el descuento de remate se aplica al precio de venta, no al costo. Con esos dos detalles la construcción reproduce la planilla al centavo en los 30 vinos.

b) Por qué cada vino tiene su propio ratio crítico

Los porcentajes son iguales para todos, pero los costos fijos por botella (el flete de 1,25 y la bodega de 1,50) no escalan con el precio. En un vino caro son calderilla; en uno barato se comen el margen entero:

Vino	Precio	C_u	C_o	RC	z	Q / Forecast
Aloxe Corton	€21,90	9,70	0,42	0,958	+1,730	155%
Pessac Léognan	€18,90	8,20	0,74	0,917	+1,385	142%
Graves Cabannieux	€9,90	3,70	1,56	0,704	+0,536	108%
Faugères	€6,80	2,15	2,03	0,515	+0,037	88%
Bordeaux Clairet	€5,50	1,50	1,78	0,458	−0,105	82%
Bordeaux Gillet	€4,65	1,08	2,26	0,323	−0,460	68%
Réserve Rouge du Club	€3,25	0,38	2,41	0,135	−1,104	43%

El pedido va de 155% del pronóstico en el vino más caro a 43% en el más barato. Con el mismo pronóstico, la decisión se da vuelta entera según el precio.

Mira la Réserve Rouge: precio €3,25, o sea la botella cuesta 1,62 y el flete 1,25, con lo que traerla sale 2,88 y solo deja €0,375 de margen. Pero si sobra, se pagaron 2,88, se guardó 15 meses y se remató en 2,28: se pierden €2,41, más de seis veces lo que se gana vendiéndola. Por eso hay que pedir menos de la mitad del pronóstico. Es el mismo resultado que en Le Club salía como "C_o negativo en tintos sobre 26 €" pero visto desde el otro extremo de la lista.

Armar el pedidoPlanilla del curso

Paso 3 · El pedido final

Se juntan los dos pasos anteriores sobre un vino concreto: Faugères "L'enclos des Moulins", tinto, precio €6,80 y pronóstico de 12.000 botellas. Parámetros del Paso 2: costo de la botella 50% del precio, flete €1,25, capital 15% anual sobre el costo de la botella, bodega €0,1 al mes, y un tinto pasa 15 meses en inventario y se remata con 30% de descuento. De la razón A/F del Paso 1: media 0,8653 y desviación 0,3978.

Junte todo y calcule el pedido de Faugères.
¿Por qué la planilla trae dos columnas de cantidad y en qué se diferencian?

a) Faugères, de punta a punta

Pronóstico F = 12.000 · precio €6,80 (tinto)

1. Distribución μ = 12.000 × 0,8653 = 10.383 · σ = 12.000 × 0,3978 = 4.774
2. Costos costo total = 3,40 + 1,25 = 4,65
C_u = 6,80 − 4,65 = 2,15
C_o = 4,65 + 1,50 + (0,15 × 3,40 × 15/12) − (6,80 × 0,70) = 2,03
3. Ratio RC = 2,15 / (2,15 + 2,03) = 0,5147 → z = +0,0368
4. Pedido Q = μ + zσ = 10.383 + 0,0368 × 4.774 = 10.559 botellas

Se piden 10.559 botellas contra un pronóstico de 12.000: un 12% menos, casi exactamente la corrección del sesgo de A/F, porque el ratio crítico quedó casi en 0,5 y el colchón zσ es casi cero.

b) Las dos columnas de la planilla

Vino	Forecast	"Order quantity"	"Q"
Faugères	12.000	9.936	10.559
Pessac Léognan	1.300	1.658	1.841
Bordeaux Gillet	6.000	4.080	4.094
Madiran	12.000	11.520	12.150

Order quantity = Forecast × (A/F del vino) → solo corrige el sesgo del pronóstico
Q = μ + zσ → corrige el sesgo y agrega el colchón según el ratio crítico

La columna Q es la respuesta Newsvendor. La otra es un paso intermedio que ignora cuánto cuesta equivocarse.

La idea que hay que llevarse. El pedido no sale del pronóstico: sale de tres cosas juntas, el sesgo histórico del pronóstico (media de A/F), la variabilidad del error (σ de A/F) y el costo relativo de equivocarse (el ratio crítico). Por eso dos vinos con el mismo pronóstico de 12.000 terminan con pedidos distintos, y por eso Faugères se pide bajo el pronóstico mientras Pessac Léognan se pide muy por encima.

Sensibilidad del Newsvendor · las dos palancas que suelen confundirse en la prueba: reducir la incertidumbre y exigir un nivel de servicio. Parecen lo mismo (las dos hablan de servir mejor) y hacen cosas opuestas con la utilidad. Los números salen de la Pauta oficial de la Ayudantía 2; el desarrollo completo de cada problema está en 📝 Práctica adicional.

Palanca 1 · bajar σPauta oficial

Mejorar el pronóstico: gratis y por partida doble

📄 Análisis de sensibilidad · Newsvendor · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Primavera 2026 · prof. Simón Maturana. Enunciado y pauta oficial del curso (Ayudantía_Newsvendor_Pauta.pdf).

Ramos Conecta, demanda Normal con μ = 260. Precio $32.000, costo $18.000, salvataje $10.000. Una mejora del pronóstico baja σ de 55 a 35, sin cambiar ningún precio.

¿Cambia el ratio crítico al mejorar el pronóstico?
¿Qué pasa con el pedido, el fill rate y la utilidad?

a) El ratio crítico no se mueve

C_u = 32.000 − 18.000 = $14.000 · C_o = 18.000 − 10.000 = $8.000
RC = 14.000 / 22.000 = 0,6364 → z = 0,3488

z depende solo de precios y costos. Si esos no cambian, z tampoco.

Lo único que cambia es el colchón zσ: mismo z, distinto σ.

b) El efecto en las cuatro medidas

Escenario	σ	Q*	Ventas perdidas	Fill rate	Utilidad esperada
Pronóstico original	55	279,18	13,67	94,74%	$3.185.762
Pronóstico mejorado	35	272,21	8,70	96,65%	$3.350.939

Se pide menos (279 → 272), se sirve mejor (94,74% → 96,65%) y se gana $165.177 más. Las tres cosas a la vez.

Este es el resultado contraintuitivo del capítulo: bajar la incertidumbre no tiene contrapartida. Con menos variabilidad la demanda se concentra cerca de 260, así que se necesita menos colchón para el mismo z, y bajan al mismo tiempo las ventas perdidas y los sobrantes. Es la justificación económica de todo lo que sea mejorar pronósticos, acortar lead times, postergar la diferenciación o hacer pooling.

Palanca 2 · exigir servicioPauta oficial

Imponer un nivel de servicio: se paga, y caro

Reactivos para talleres escolares, demanda Poisson con λ = 5,5. Precio $45.000, costo $24.000, salvataje $8.000. Se compara el pedido que maximiza utilidad con el que garantiza 95% de probabilidad in-stock.

¿Cuál es el pedido óptimo y cuál el que da 95% de in-stock?
¿Cuánto cuesta la garantía de servicio y por qué tanto?

a) Los dos criterios sobre el mismo problema

C_u = 45.000 − 24.000 = $21.000 · C_o = 24.000 − 8.000 = $16.000
RC = 21.000 / 37.000 = 0,5676

Criterio utilidad: F(5) = 0,5289 < 0,5676 ≤ F(6) = 0,6860 → Q* = 6 packs
Criterio servicio 95%: F(9) = 0,9462 < 0,95 ≤ F(10) = 0,9747 → Q = 10 packs

Garantizar 95% de servicio exige 67% más inventario: 10 packs en vez de 6.

b) Lo que cuesta

Pedido	Ventas esperadas	Sobrantes esperados	Utilidad esperada
Q = 6 (óptimo)	4,7928	1,2072	$81.335
Q = 10 (servicio 95%)	5,4567	4,5433	$41.899

Pérdida = 81.335 − 41.899 = $39.436, casi la mitad de la utilidad.

La meta de servicio sí reduce el riesgo de quiebre, pero se paga con utilidad esperada.

Dónde se va la plata. Los 4 packs extra suben las ventas esperadas apenas de 4,79 a 5,46, o sea menos de un pack más vendido, mientras los sobrantes se disparan de 1,21 a 4,54. Cada unidad que se agrega cae más adentro de la cola de la distribución, donde la probabilidad de que haya demanda para ocuparla es cada vez menor. Por eso el costo del servicio crece rapidísimo cerca del 100%: es la misma razón por la que en el Problem Set 2 pasar a 95% de fill rate botaba el 88% de la utilidad de los abrigos.

Las dos palancas, lado a lado. Bajar σ mueve la distribución y mejora servicio y utilidad juntos, sin contrapartida. Exigir servicio mueve el pedido sobre una distribución que no cambió, y compra servicio pagando utilidad. Si en el quiz preguntan "cómo mejoro el nivel de servicio", la respuesta cara es pedir más y la respuesta buena es reducir la incertidumbre. Y ojo con no confundir las dos medidas de servicio: in-stock es la probabilidad de que no falte nada (cuenta períodos) y fill rate es la fracción de unidades atendidas (cuenta unidades); el fill rate casi siempre sale más alto.

Cómo se hace cada paso · las tres mecánicas que las pautas dan por sabidas y que aparecen como números caídos del cielo: buscar z en la tabla normal, calcular L(z) y acumular una Poisson. Acá están desarrolladas con todos los pasos intermedios, para no repetirlas en cada ejercicio.

Mecánica 1

Buscar z a partir del ratio crítico

En las pautas aparece así: "z = Φ⁻¹(0,6667) = 0,4307". Eso es leer la tabla normal al revés: en vez de entrar con z y sacar la probabilidad, entras con la probabilidad y sacas el z.

El procedimiento, con RC = 0,6667 (EcoRun)

Paso 1. Buscar dentro del cuerpo de la tabla el valor más cercano a 0,6667.

Paso 2. Ver entre qué dos valores cae:
  Φ(0,43) = 0,6664 → se queda corto por 0,0003
  Φ(0,44) = 0,6700 → se pasa por 0,0033

Paso 3. El más cercano es z = 0,43. Con eso basta para el quiz.

Paso 4 (opcional). Interpolar para más precisión:
  z ≈ 0,43 + 0,01 × (0,6667 − 0,6664) / (0,6700 − 0,6664)
  z ≈ 0,43 + 0,01 × 0,083 = 0,4308

Por eso la pauta escribe z = 0,4307: es el valor exacto de Excel. Con el 0,43 de la tabla llegas al mismo Q*.

En Excel, sin tabla:
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,6667) → 0,4307 (solo el z)
=INV.NORM(0,6667; 420; 90) → 458,77 (el Q* completo, sin pasar por z)

El signo de z es el chequeo rápido. Si RC > 0,5 el z sale positivo y Q* queda sobre la media; si RC < 0,5 sale negativo y Q* queda bajo la media. Un z positivo con un RC de 0,25 significa que te equivocaste. Ojo con las tablas que traen solo z positivos: para un RC menor a 0,5 hay que usar la simetría Φ(−z) = 1 − Φ(z). Con RC = 0,25 buscas 1 − 0,25 = 0,75 en la tabla, te da 0,67, y el que ocupas es −0,67.

Tabla normal acumulada Φ(z)

z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
-3,0	0,0013	0,0014	0,0014	0,0015	0,0015	0,0016	0,0016	0,0017	0,0018	0,0018
-2,9	0,0019	0,0019	0,0020	0,0021	0,0021	0,0022	0,0023	0,0023	0,0024	0,0025
-2,8	0,0026	0,0026	0,0027	0,0028	0,0029	0,0030	0,0031	0,0032	0,0033	0,0034
-2,7	0,0035	0,0036	0,0037	0,0038	0,0039	0,0040	0,0041	0,0043	0,0044	0,0045
-2,6	0,0047	0,0048	0,0049	0,0051	0,0052	0,0054	0,0055	0,0057	0,0059	0,0060
-2,5	0,0062	0,0064	0,0066	0,0068	0,0069	0,0071	0,0073	0,0075	0,0078	0,0080
-2,4	0,0082	0,0084	0,0087	0,0089	0,0091	0,0094	0,0096	0,0099	0,0102	0,0104
-2,3	0,0107	0,0110	0,0113	0,0116	0,0119	0,0122	0,0125	0,0129	0,0132	0,0136
-2,2	0,0139	0,0143	0,0146	0,0150	0,0154	0,0158	0,0162	0,0166	0,0170	0,0174
-2,1	0,0179	0,0183	0,0188	0,0192	0,0197	0,0202	0,0207	0,0212	0,0217	0,0222
-2,0	0,0228	0,0233	0,0239	0,0244	0,0250	0,0256	0,0262	0,0268	0,0274	0,0281
-1,9	0,0287	0,0294	0,0301	0,0307	0,0314	0,0322	0,0329	0,0336	0,0344	0,0351
-1,8	0,0359	0,0367	0,0375	0,0384	0,0392	0,0401	0,0409	0,0418	0,0427	0,0436
-1,7	0,0446	0,0455	0,0465	0,0475	0,0485	0,0495	0,0505	0,0516	0,0526	0,0537
-1,6	0,0548	0,0559	0,0571	0,0582	0,0594	0,0606	0,0618	0,0630	0,0643	0,0655
-1,5	0,0668	0,0681	0,0694	0,0708	0,0721	0,0735	0,0749	0,0764	0,0778	0,0793
-1,4	0,0808	0,0823	0,0838	0,0853	0,0869	0,0885	0,0901	0,0918	0,0934	0,0951
-1,3	0,0968	0,0985	0,1003	0,1020	0,1038	0,1056	0,1075	0,1093	0,1112	0,1131
-1,2	0,1151	0,1170	0,1190	0,1210	0,1230	0,1251	0,1271	0,1292	0,1314	0,1335
-1,1	0,1357	0,1379	0,1401	0,1423	0,1446	0,1469	0,1492	0,1515	0,1539	0,1562
-1,0	0,1587	0,1611	0,1635	0,1660	0,1685	0,1711	0,1736	0,1762	0,1788	0,1814
-0,9	0,1841	0,1867	0,1894	0,1922	0,1949	0,1977	0,2005	0,2033	0,2061	0,2090
-0,8	0,2119	0,2148	0,2177	0,2206	0,2236	0,2266	0,2296	0,2327	0,2358	0,2389
-0,7	0,2420	0,2451	0,2483	0,2514	0,2546	0,2578	0,2611	0,2643	0,2676	0,2709
-0,6	0,2743	0,2776	0,2810	0,2843	0,2877	0,2912	0,2946	0,2981	0,3015	0,3050
-0,5	0,3085	0,3121	0,3156	0,3192	0,3228	0,3264	0,3300	0,3336	0,3372	0,3409
-0,4	0,3446	0,3483	0,3520	0,3557	0,3594	0,3632	0,3669	0,3707	0,3745	0,3783
-0,3	0,3821	0,3859	0,3897	0,3936	0,3974	0,4013	0,4052	0,4090	0,4129	0,4168
-0,2	0,4207	0,4247	0,4286	0,4325	0,4364	0,4404	0,4443	0,4483	0,4522	0,4562
-0,1	0,4602	0,4641	0,4681	0,4721	0,4761	0,4801	0,4840	0,4880	0,4920	0,4960
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990

Se lee así: la fila da el z hasta el primer decimal y la columna agrega el segundo. Para Φ(0,43): fila 0,4, columna 0,03 → 0,6664.

Mecánica 2

Calcular la función de pérdida L(z)

En las pautas aparece así: "L(z) = φ(z) − z[1 − Φ(z)], con z = 0,4307 → L(z) = 0,2200". Entre la fórmula y el resultado hay tres cuentas que no se muestran. Sirve para las ventas perdidas: E[ventas perdidas] = σ · L(z).

Las tres piezas, con z = 0,4307 (EcoRun)

Pieza 1: φ(z), la densidad normal (la altura de la campana, no el área):
  φ(z) = (1/√(2π)) · e^−z²/2 = 0,3989 · e^−z²/2
  z² / 2 = 0,4307² / 2 = 0,1855 / 2 = 0,0928
  e^−0,0928 = 0,9114
  φ(0,4307) = 0,3989 × 0,9114 = 0,3636
  Excel: =DISTR.NORM.ESTAND.N(0,4307; FALSO) ← el FALSO pide la densidad

Pieza 2: 1 − Φ(z), la cola de arriba:
  Φ(0,4307) = 0,6667 ← es el ratio crítico, ya lo tienes
  1 − Φ(z) = 0,3333

Pieza 3: armar la resta
  L(z) = 0,3636 − 0,4307 × 0,3333
  L(z) = 0,3636 − 0,1436 = 0,2200

L(0,4307) = 0,2200, y con eso E[ventas perdidas] = σ · L(z) = 90 × 0,2200 = 19,80 botellas.

Atajo: cuando el z viene del ratio crítico, Φ(z) es el RC, así que la pieza 2 es simplemente 1 − RC y no hay que buscar nada en la tabla. Solo queda calcular φ(z).

Cuidado con el z negativo

Con z = −0,6745 (los abrigos del Problem Set 2):

φ(−0,6745) = 0,3989 × e^−0,2275 = 0,3178 (φ es simétrica: φ(−z) = φ(z))
1 − Φ(−0,6745) = 1 − 0,25 = 0,7500

L(z) = 0,3178 − (−0,6745) × 0,7500
L(z) = 0,3178 + 0,5059 = 0,8237

Acá está el error clásico: restar un negativo es sumar. Si te da 0,3178 − 0,5059 = −0,19, te equivocaste de signo. Chequeo: L(z) nunca puede ser negativa, porque son ventas perdidas esperadas.

Los L(z) de estos ejercicios, con sus piezas

Ejercicio	z	φ(z)	1 − Φ(z)	L(z)
EcoRun	+0,4307	0,3636	0,3333	0,2200
Ramos Conecta	+0,3488	0,3754	0,3636	0,2486
Ramos, fill rate 95%	+0,7001	0,3122	0,2419	0,1429
AndesTech	−0,1397	0,3951	0,5556	0,4727
Abrigos	−0,6745	0,3178	0,7500	0,8237

Mecánica 3

Acumular una Poisson

En las pautas aparece así: "F(16) = 0,6641 < 0,7143 ≤ F(17) = 0,7489", sin decir de dónde salen esos números. Se construyen sumando término a término.

La fórmula y cómo se acumula, con λ = 15 (chocolates)

Probabilidad puntual: P(D = k) = e^−λ · λ^k / k!
Acumulada: F(k) = P(D=0) + P(D=1) + … + P(D=k)

P(D = 16) = e⁻¹⁵ · 15¹⁶ / 16! = 0,0960
P(D = 17) = e⁻¹⁵ · 15¹⁷ / 17! = 0,0847

F(16) = suma desde P(D=0) hasta P(D=16) = 0,6641
F(17) = F(16) + P(D=17) = 0,6641 + 0,0847 = 0,7489

En Excel, sin sumar a mano:
=POISSON.DIST(17; 15; VERDADERO) → 0,7489 ← VERDADERO da la acumulada F(k)
=POISSON.DIST(17; 15; FALSO) → 0,0847 ← FALSO da la puntual P(D=k)

El truco para no calcular 18 factoriales: cada término sale del anterior con una multiplicación, P(D=k+1) = P(D=k) × λ/(k+1). Con λ = 15: P(17) = P(16) × 15/17 = 0,0960 × 0,8824 = 0,0847. Y la acumulada avanza con una suma, F(k+1) = F(k) + P(D=k+1). Así se arma la columna entera a mano en un minuto.

Las tres acumuladas que se usan en estos ejercicios

λ = 15 · chocolates	λ = 8,4 · Ruta Salud	λ = 5,5 · reactivos
F(16) = 0,6641	F(7) = 0,3987	F(5) = 0,5289
F(17) = 0,7489	F(8) = 0,5369	F(6) = 0,6860
F(19) = 0,8752	F(9) = 0,6659	F(9) = 0,9462
F(20) = 0,9170	F(11) = 0,8571	F(10) = 0,9747
	F(12) = 0,9150

Ventas esperadas con demanda discreta, otra que las pautas dan por sabida: E[min(D,Q)] = Σ_k=0^Q−1 [1 − F(k)]. Se suman las colas, no los k·P(D=k). Con Q = 20 y λ = 15 son las 20 colas desde F(0) hasta F(19) y da 14,79. Da exactamente lo mismo que multiplicar y sumar 20 términos, pero en la mitad del tiempo.

🧮 Quiz 1: Procesos y tiempos de espera

Desarrollo numérico oficial del quiz del centro de preparación MercadoAndes.

Datos generales

Imagina una fila de supermercado: los pedidos van pasando por distintas estaciones. Algunas estaciones tienen varias personas trabajando al mismo tiempo. La estación que puede procesar menos pedidos por hora limita a todo el proceso.

MercadoAndes recibe 18 pedidos por hora. El tiempo promedio entre llegadas es 10/3 minutos y su desviación estándar también es 10/3 minutos. Cada pedido contiene exactamente 3 productos.

Actividad	Recursos y tiempos	Flujo
Recepción	2 asistentes, 4 minutos por pedido	18 pedidos/h
Picking	3 preparadores, 2,5 minutos por producto	18 pedidos/h = 54 productos/h
Embalaje	70% estándar: 2 operarios, 6 minutos por pedido. 30% refrigerado: 1 operario, 8 minutos por pedido	12,6 y 5,4 pedidos/h
Despacho	3 ejecutivos, 9 minutos por pedido, desviación estándar de 4,5 minutos	18 pedidos/h

Se supone que no se pierden ni rechazan pedidos, los recursos trabajan en paralelo y los promedios y la variabilidad son estables. En despacho, los tiempos entre llegadas conservan el promedio y la desviación estándar del centro.

Pauta oficial

Problema 1 · Flujo del proceso

📄 Quiz 1 · Procesos y Tiempos de Espera · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Primavera 2026 · prof. Simón Maturana. Enunciado y pauta oficial del curso (quiz_1_procesos_y_tiempos_de_espera_pauta.pdf).

MercadoAndes recibe 18 pedidos por hora. Cada pedido pasa por recepción, picking, embalaje estándar o refrigerado, y finalmente despacho. El 70% de los pedidos es estándar y el 30% es refrigerado. Cada pedido contiene exactamente 3 productos.

Construya el diagrama de flujo.
Indique el flujo que ingresa a cada actividad en pedidos por hora y, cuando corresponda, en productos por hora.

a) Conversión de pedidos a productos

Cada pedido trae 3 productos. Entonces, si llegan 18 cajas y cada caja tiene 3 productos, picking debe preparar tres veces esa cantidad.

Flujo a picking = 18 pedidos/h × 3 productos/pedido

Flujo a picking = 54 productos/h

Embalaje estándar = 18 pedidos/h × 0,70 = 12,6 pedidos/h

Embalaje refrigerado = 18 pedidos/h × 0,30 = 5,4 pedidos/h

b) Diagrama y flujos

18 pedidos/h

↓

Recepción: 18 pedidos/h

↓

Picking: 18 pedidos/h = 54 productos/h

↙ ↘

Embalaje estándar: 12,6 pedidos/h Embalaje refrigerado: 5,4 pedidos/h

↘ ↙

Despacho: 18 pedidos/h

↓

Salida: 18 pedidos/h

El flujo se divide en 12,6 pedidos estándar por hora y 5,4 pedidos refrigerados por hora, para reunirse nuevamente en despacho con 18 pedidos por hora.

El flujo de productos se expresa solo en picking: 54 productos por hora.

Pauta oficial

Problema 2 · Capacidades y cuello de botella

Use los recursos y tiempos del enunciado: recepción con 2 asistentes y 4 minutos por pedido; picking con 3 preparadores y 2,5 minutos por producto; embalaje estándar con 2 operarios y 6 minutos por pedido; embalaje refrigerado con 1 operario y 8 minutos por pedido; despacho con 3 ejecutivos y 9 minutos por pedido.

Calcule la capacidad natural y equivalente de cada actividad.
Determine la capacidad del proceso y el cuello de botella.
Determine las tasas de entrada y salida con una demanda de 18 pedidos por hora.

a) Capacidades

La capacidad dice cuántos pedidos puede atender una estación en una hora. Es como contar cuántas cajas puede cerrar cada caja del supermercado durante una hora.

Recepción: 2 × (60/4) = 30 pedidos/h.

Picking: 3 × (60/2,5) = 72 productos/h. Como cada pedido tiene 3 productos: 72/3 = 24 pedidos/h.

Embalaje estándar: 2 × (60/6) = 20 pedidos estándar/h. Capacidad equivalente: 20/0,70 = 28,57 pedidos totales/h.

Embalaje refrigerado: 60/8 = 7,5 pedidos refrigerados/h. Capacidad equivalente: 7,5/0,30 = 25 pedidos totales/h.

Despacho: 3 × (60/9) = 20 pedidos/h.

b) Capacidad del proceso

Todo el proceso avanza tan rápido como su estación más lenta. Aunque las otras estaciones puedan hacer más, la fila se acumula en la que tiene menor capacidad.

R_máx = mín{30; 24; 28,57; 25; 20}

R_máx = 20 pedidos/h

El cuello de botella es despacho.

Como 18 pedidos/h es menor que 20 pedidos/h:

R_entrada = 18 pedidos/h

R_salida = 18 pedidos/h

La capacidad del proceso es 20 pedidos por hora y el cuello de botella es despacho.

La capacidad natural de picking está en productos por hora; para compararla con las demás actividades se convierte a pedidos totales por hora.

Pauta oficial

Problema 3 · Utilización de las actividades

El flujo actual es de 18 pedidos por hora. En picking equivale a 54 productos por hora. Las capacidades calculadas son: recepción 30 pedidos/h, picking 72 productos/h, embalaje estándar 20 pedidos estándar/h, embalaje refrigerado 7,5 pedidos refrigerados/h y despacho 20 pedidos/h.

Calcule la utilización de cada actividad.

a) Fórmula de utilización

La utilización muestra qué parte del tiempo está ocupada una estación. Una utilización de 60% significa que trabaja, en promedio, 60 de cada 100 partes de su tiempo disponible.

Utilización = flujo de la actividad / capacidad de la actividad.

Recepción: 18/30 = 60%.

Picking: 54/72 = 75%.

Embalaje estándar: 12,6/20 = 63%.

Embalaje refrigerado: 5,4/7,5 = 72%.

Despacho: 18/20 = 90%.

Recepción 60%; picking 75%; embalaje estándar 63%; embalaje refrigerado 72%; despacho 90%.

Despacho tiene la mayor utilización, 90%, consistente con que sea el cuello de botella.

Pauta oficial

Problema 4 · Espera en despacho

Despacho tiene 3 ejecutivos. La llegada promedio es 18 pedidos por hora, el tiempo promedio entre llegadas es 10/3 minutos y su desviación estándar es 10/3 minutos. El tiempo promedio de despacho es 9 minutos y su desviación estándar es 4,5 minutos.

Calcule CVa, CVp y la utilización ρ.
Calcule el tiempo promedio en cola Tq.
Calcule el tiempo promedio total en despacho T.
Calcule el número promedio de pedidos esperando Iq.

a) Coeficientes de variación y utilización

El coeficiente de variación compara la variabilidad con el promedio. Si la desviación estándar es igual al promedio, el coeficiente vale 1. La utilización compara lo que llega con lo que los ejecutivos pueden procesar.

CVa = desviación estándar entre llegadas / tiempo promedio entre llegadas

CVa = (10/3)/(10/3) = 1.

CVp = desviación estándar del proceso / tiempo promedio del proceso

CVp = 4,5/9 = 0,5.

ρ = λt_p/(60m)

ρ = 18 × 9/(60 × 3) = 0,90.

b) Tiempo en cola

La fórmula estima cuánto espera un pedido antes de ser atendido. Más variabilidad y una utilización cercana a 100% hacen crecer la espera.

Tq ≈ ((CVa² + CVp²)/2) × (ρ^{√(2(m+1))−1}/(m(1−ρ))) × t_p

Reemplazando: Tq ≈ ((1² + 0,5²)/2) × (0,90^{√(2(3+1))−1}/(3(1−0,90))) × 9 minutos

Tq ≈ 15,46 minutos.

c) Tiempo total y Ley de Little

El tiempo total en despacho es la espera más el tiempo de atención. La Ley de Little transforma una tasa de llegada y un tiempo en una cantidad promedio de pedidos.

T = Tq + t_p = 15,46 + 9 = 24,46 minutos.

Iq = λTq = 18 × (15,46/60) ≈ 4,64 pedidos.

CVa = 1; CVp = 0,5; ρ = 0,90; Tq = 15,46 minutos; T = 24,46 minutos; Iq ≈ 4,64 pedidos.

Iq usa Tq, no el tiempo total T, porque cuenta solo los pedidos que están esperando.

Pauta oficial

Problema 5 · Aumento de demanda y trabajador adicional

La demanda aumenta a 23 pedidos por hora. La capacidad actual del proceso es 20 pedidos por hora. La empresa acepta todos los pedidos y puede incorporar un trabajador adicional a una sola actividad, con la misma productividad de quienes ya trabajan allí.

Determine las tasas de entrada y salida y la acumulación de pedidos por hora.
Explique qué ocurre con el tiempo de espera en el largo plazo.
Indique dónde incorporar el trabajador adicional.
Calcule la nueva capacidad del proceso y el nuevo cuello de botella.

a) Sistema con recursos actuales

Si entran más pedidos de los que todo el proceso puede terminar, la fila crece. Es como una caja donde llegan 23 personas por hora, pero solo se pueden atender 20.

R_entrada = 23 pedidos/h.

R_salida = capacidad del proceso = 20 pedidos/h.

Acumulación = 23 − 20 = 3 pedidos/h.

Entran 23 pedidos/h, salen 20 pedidos/h y se acumulan 3 pedidos por hora.

b) Estabilidad

Como la entrada es mayor que la capacidad, el sistema no es estable.

La cola y el tiempo de espera aumentan indefinidamente. No existe un Tq de estado estable.

c) Ubicación del trabajador adicional

El trabajador debe ir a la estación que limita el proceso. Aquí se agrega capacidad a despacho, porque era el cuello de botella.

Con 4 ejecutivos:

Capacidad de despacho = 4 × (60/9) = 26,67 pedidos/h.

Nueva capacidad del proceso = mín{30; 24; 28,57; 25; 26,67} = 24 pedidos/h.

El nuevo cuello de botella es picking.

Como 23 es menor que 24:

R_salida = 23 pedidos/h.

Acumulación = 0.

El trabajador adicional debe incorporarse a despacho. La nueva capacidad del proceso es 24 pedidos/h y el nuevo cuello de botella es picking.

Agregar capacidad a una estación que no es el cuello no aumenta la capacidad total si el cuello permanece sin cambios.

Pauta oficial

Problema 6 · Menor variabilidad de las llegadas

Se retoma la situación inicial de 18 pedidos por hora. Un sistema de programación reduce la desviación estándar de los tiempos entre llegadas a 5/3 minutos, sin modificar ningún otro parámetro. El tiempo promedio entre llegadas continúa siendo 10/3 minutos. Despacho mantiene 3 ejecutivos, 9 minutos de atención y desviación estándar de 4,5 minutos.

Calcule el nuevo CVa.
Calcule Tq, T e Iq en despacho.
Determine la reducción porcentual del tiempo de espera.

a) Nuevo coeficiente de variación

Las llegadas ahora son más ordenadas: siguen llegando 18 pedidos por hora, pero los intervalos entre pedidos varían menos. Eso reduce la formación de filas.

CVa = desviación estándar entre llegadas / tiempo promedio entre llegadas

CVa = (5/3)/(10/3) = 0,5.

La utilización no cambia porque no cambiaron la llegada promedio, el tiempo de atención ni la cantidad de ejecutivos:

ρ = 18 × 9/(60 × 3) = 0,90.

b) Espera y tiempo total

Usando la misma aproximación de más de un servidor:

Tq ≈ ((0,5² + 0,5²)/2) × (0,90^{√(2(3+1))−1}/(3(1−0,90))) × 9 minutos

Tq ≈ 6,19 minutos.

T = Tq + t_p = 6,19 + 9 = 15,19 minutos.

Iq = λTq = 18 × (6,19/60) ≈ 1,86 pedidos.

c) Reducción porcentual

Para medir cuánto mejoró la espera, se compara la espera antigua con la nueva y se divide por la espera antigua.

Reducción porcentual = (Tq antiguo − Tq nuevo)/Tq antiguo × 100

Reducción porcentual = (15,46 − 6,19)/15,46 × 100 ≈ 60%.

CVa = 0,5; Tq = 6,19 minutos; T = 15,19 minutos; Iq ≈ 1,86 pedidos; reducción del tiempo de espera ≈ 60%.

La espera disminuye sin aumentar la capacidad: las llegadas más regulares reducen la congestión causada por la variabilidad.

📦 Ayudantía EOQ: desarrollo de problemas

Desarrollo numérico de EOQ, inventario de seguridad, punto de reorden y comparación de proveedores.

Problemas resueltos

Pauta oficial

Problema 1 · BikeParts Santiago

📄 Ayudantía EOQ · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Otoño 2026. Enunciado y pauta oficial del curso (Ayudantía_EOQ.pdf).

BikeParts Santiago distribuye kits de luces LED recargables. La demanda es constante durante todo el año.

Dato	Valor	Unidad
Demanda semanal	90	unidades
Costo unitario	$4	por unidad
Costo fijo por pedido	$25	por pedido
Tasa anual de mantención	20 %	anual
Semanas por año	50	semanas

¿Cuál es la cantidad óptima de pedido?
¿Cuántos pedidos debe realizar la empresa durante un año?
¿Cada cuántas semanas debe realizar un pedido?
¿Cuál es el costo anual de pedidos y el costo anual de mantenimiento?
¿Cuál es el costo anual total del inventario?
¿Cuál es el inventario promedio y la rotación anual?
¿Cuál sería el costo total anual si se realizan pedidos de 100 unidades?

a) Cantidad óptima de pedido

Es como decidir cuántas botellas comprar cada vez: si compras muy pocas, haces muchos viajes; si compras demasiadas, guardas mucho stock. EOQ busca el equilibrio.

Primero se transforma la demanda semanal en demanda anual:
R = 90 × 50 = 4500 unidades al año.

El costo anual de mantener una unidad es:
H = 20 % × $4 = $0,8 anual.

Fórmula EOQ:
Q* = √(2RS/H)
Q* = √(2 × 4500 × 25 / 0,8)
Q* = 530,3300858899106 unidades.

La cantidad óptima es 530,3300858899106 unidades por pedido.

La pauta trabaja con la cantidad óptima teórica. En la operación, la empresa puede redondear según sus restricciones de compra.

b) Pedidos durante el año

Si durante el año se necesitan 4500 unidades y cada pedido trae 530,3300858899106, se divide lo necesario por lo que trae cada pedido.

N = R / Q*
N = 4500 / 530,3300858899106
N = 8,485281374238571 pedidos al año.

La empresa debe realizar 8,485281374238571 pedidos al año.

c) Tiempo entre pedidos

El tiempo entre pedidos es la parte del año que pasa desde un pedido hasta el siguiente.

T = Q* / R
T = 530,3300858899106 / 4500
T = 0,1178511301977579 años.

En semanas:
T = 0,1178511301977579 × 50
T = 5,892556509887895 semanas.

Debe realizar un pedido cada 5,892556509887895 semanas.

d) Costos anuales de pedidos y mantenimiento

El costo de pedidos paga los viajes o gestiones de compra. El costo de mantenimiento paga tener unidades guardadas. En EOQ, ambos costos quedan iguales.

Costo anual de pedidos = (R / Q*) × S
Costo anual de pedidos = (4500 / 530,3300858899106) × 25
Costo anual de pedidos = $212,1320343559643.

Inventario promedio = Q* / 2
Inventario promedio = 530,3300858899106 / 2
Inventario promedio = 265,1650429449553 unidades.

Costo anual de mantenimiento = inventario promedio × H
Costo anual de mantenimiento = 265,1650429449553 × 0,8
Costo anual de mantenimiento = $212,13203435596427.

Costo anual de pedidos: $212,1320343559643. Costo anual de mantenimiento: $212,13203435596427.

e) Costo anual total

TC = costo anual de pedidos + costo anual de mantenimiento
TC = 212,1320343559643 + 212,13203435596427
TC = $424,26406871192853.

El costo anual total del inventario es $424,26406871192853.

f) Inventario promedio y rotación

La rotación indica cuántas veces se reemplaza, en promedio, el inventario durante el año.

Inventario promedio = Q* / 2
Inventario promedio = 530,3300858899106 / 2
Inventario promedio = 265,1650429449553 unidades.

Rotación anual = R / inventario promedio
Rotación anual = 4500 / 265,1650429449553
Rotación anual = 16,970562748477143.

Inventario promedio: 265,1650429449553 unidades. Rotación anual: 16,970562748477143 veces.

g) Pedidos de 100 unidades

TC = (R / Q') × S + (Q' / 2) × H
TC = (4500 / 100) × 25 + (100 / 2) × 0,8
TC = 1125 + 40
TC = $1165.

Con pedidos de 100 unidades, el costo total anual es $1165.

El costo con Q' = 100 es mayor que el costo EOQ de $424,26406871192853.

Pauta oficial

Problema 2 · FarmaStock Express

📄 Ayudantía EOQ · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Otoño 2026. Enunciado y pauta oficial del curso (Ayudantía_EOQ.pdf).

FarmaStock Express distribuye kits de primeros auxilios. Primero se supone demanda constante y luego demanda normal durante el tiempo de reposición.

Dato	Valor	Unidad
Demanda promedio	60	kits por semana
Costo unitario	$5	por kit
Costo fijo por pedido	$45	por pedido
Tasa anual de mantención	24 %	anual
Semanas por año	50	semanas
Desviación estándar semanal	20	kits
Lead time inicial	2	semanas
Nivel de servicio	97,5 %

Calcule la cantidad óptima de pedido.
Calcule el tiempo entre pedidos.
Calcule el costo anual de mantenimiento y de pedidos.
Calcule el inventario de seguridad para un nivel de servicio de 97,5 %.
Calcule el punto de reorden.
Con un lead time de 1 semana, calcule nuevamente el inventario de seguridad y el punto de reorden.

a) Cantidad óptima de pedido

La cantidad óptima busca que pedir muchas veces y guardar productos cueste lo mismo en el equilibrio.

Demanda anual = 60 × 50 = 3000 kits.
H = 24 % × $5 = $1,2 anual.

Q* = √(2RS/H)
Q* = √(2 × 3000 × 45 / 1,2)
Q* = 474,3416490252569 kits.

La cantidad óptima es 474,3416490252569 kits por pedido.

b) Tiempo entre pedidos

T = Q* / R
T = 474,3416490252569 / 3000
T = 0,15811388300841897 años.

T = 0,15811388300841897 × 50
T = 7,905694150420948 semanas.

El tiempo entre pedidos es 7,905694150420948 semanas.

c) Costos anuales

Con EOQ, el costo de hacer pedidos y el costo de guardar inventario se equilibran.

Costo anual de pedidos = (3000 / 474,3416490252569) × 45
Costo anual de pedidos = $284,60498941515414.

Inventario promedio = 474,3416490252569 / 2
Inventario promedio = 237,17082451262845 kits.

Costo anual de mantenimiento = 237,17082451262845 × 1,2
Costo anual de mantenimiento = $284,60498941515414.

TC = 284,60498941515414 + 284,60498941515414
TC = $569,2099788303083.

Costo anual de pedidos: $284,60498941515414. Costo anual de mantenimiento: $284,60498941515414.

d) Inventario de seguridad con lead time de 2 semanas

El inventario de seguridad es una reserva para cuando la demanda sea más alta de lo normal mientras llega el pedido.

Para un nivel de servicio de 97,5 %, la pauta utiliza Z = 1,9599639845400536.

SS = Z × σ × √L
SS = 1,9599639845400536 × 20 × √2
SS = 55,4361529739871 kits.

El inventario de seguridad necesario es 55,4361529739871 kits.

e) Punto de reorden

El punto de reorden es el nivel de inventario que activa un nuevo pedido: lo esperado durante la espera más la reserva de seguridad.

Demanda esperada durante lead time = 60 × 2
Demanda esperada durante lead time = 120 kits.

R = demanda durante lead time + SS
R = 120 + 55,4361529739871
R = 175,4361529739871 kits.

El punto de reorden es 175,4361529739871 kits.

f) Lead time de 1 semana

SS* = Z × σ × √L
SS* = 1,9599639845400536 × 20 × √1
SS* = 39,19927969080107 kits.

Demanda durante el nuevo lead time = 60 × 1 = 60 kits.

R = 60 + 39,19927969080107
R = 99,19927969080106 kits.

Con lead time de 1 semana, el inventario de seguridad es 39,19927969080107 kits y el punto de reorden es 99,19927969080106 kits.

Al reducirse el tiempo de entrega de 2 semanas a 1 semana, disminuyen tanto la incertidumbre cubierta por el inventario de seguridad como la demanda esperada durante el lead time. Por eso bajan ambos valores.

Pauta oficial

Problema 3 · FreshBowl

📄 Ayudantía EOQ · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Otoño 2026. Enunciado y pauta oficial del curso (Ayudantía_EOQ.pdf).

FreshBowl compra cajas biodegradables. Se comparan un proveedor local y un proveedor extranjero.

Dato	Proveedor local	Proveedor extranjero
Demanda mensual	200 cajas	200 cajas
Meses por año	12	12
Demanda anual	2400 cajas	2400 cajas
Costo unitario	$16	$13,5
Costo fijo por pedido	$80	$350
Almacenamiento físico	$1 por caja al mes	$1 por caja al mes
Costo de capital mensual	1,5 %	1,5 %

Calcule la cantidad óptima con el proveedor local.
Calcule los pedidos por año.
Calcule el inventario promedio.
Calcule los meses de suministro promedio.
Calcule el gasto mensual de mantenimiento.
Calcule la cantidad óptima con el proveedor extranjero.
Compare el costo total anual de ambos proveedores.
Indique qué proveedor debe escoger FreshBowl.

a) Cantidad óptima con proveedor local

FreshBowl debe equilibrar el costo de pedir cajas con el costo de tenerlas guardadas. Como los datos están expresados por mes, se usa la demanda mensual y el costo mensual de mantenimiento.

Costo mensual de capital sobre una caja = 1,5 % × $16 = $0,24.
H mensual = $1 + $0,24 = $1,24.

Q* = √(2 × demanda mensual × S / H mensual)
Q* = √(2 × 200 × 80 / 1,24)
Q* = 160,64386578049977 cajas.

Con el proveedor local, la cantidad óptima es 160,64386578049977 cajas.

b) Pedidos por año

Pedidos por año = demanda anual / Q*
Pedidos por año = 2400 / 160,64386578049977
Pedidos por año = 14,93987951758648 pedidos al año.

Debe realizar 14,93987951758648 pedidos al año, aproximadamente 15 pedidos.

c) Inventario promedio

Inventario promedio = Q* / 2
Inventario promedio = 160,64386578049977 / 2
Inventario promedio = 80,32193289024988 cajas.

El inventario promedio es 80,32193289024988 cajas.

d) Meses de suministro promedio

Meses de suministro promedio = inventario promedio / demanda mensual
Meses de suministro promedio = 80,32193289024988 / 200
Meses de suministro promedio = 0,4016096644512494 meses.

FreshBowl mantiene en promedio 0,4016096644512494 meses de suministro.

e) Gasto mensual de mantenimiento local

Costo mensual de mantenimiento = inventario promedio × H mensual
Costo mensual de mantenimiento = 80,32193289024988 × 1,24
Costo mensual de mantenimiento = $99,59919678390986.

El gasto mensual de mantenimiento es $99,59919678390986.

f) Cantidad óptima con proveedor extranjero

El proveedor extranjero vende más barato, pero cobra más por cada pedido. Por eso el tamaño óptimo cambia.

Costo mensual de capital sobre una caja = 1,5 % × $13,5 = $0,2025.
H mensual = $1 + $0,2025 = $1,2025.

Q* = √(2 × 200 × 350 / 1,2025)
Q* = 341,2097835996448 cajas.

Con el proveedor extranjero, la cantidad óptima es 341,2097835996448 cajas.

g) Comparación de costos anuales

Para escoger proveedor no basta con mirar el precio por caja. Hay que sumar compra, pedidos y mantenimiento durante el año.

Concepto	Local	Extranjero	Diferencia
Costo de compra anual	$38400	$32400	-$6000
Costo anual de pedidos	$1195,1903614069183	$2461,828588671437	$1266,6382272645187
Costo anual de mantenimiento	$1195,190361406918	$2461,8285886714375	$1266,6382272645194
Costo total anual	$40790,38072281383	$37323,65717734287	-$3466,723545470959

Costo total anual local = 38400 + 1195,1903614069183 + 1195,190361406918 = $40790,38072281383.

Costo total anual extranjero = 32400 + 2461,828588671437 + 2461,8285886714375 = $37323,65717734287.

El proveedor extranjero tiene un costo total anual menor por $3466,723545470959.

h) Decisión

Se compara el costo total anual:
Proveedor local: $40790,38072281383.
Proveedor extranjero: $37323,65717734287.

Como $37323,65717734287 es menor que $40790,38072281383, la decisión es cambiar al proveedor extranjero.

FreshBowl debería escoger el proveedor extranjero.

El proveedor extranjero cobra más por pedido y genera mayores costos anuales de pedidos y mantenimiento, pero su menor costo de compra anual compensa esas diferencias.

🧊 Quiz 2: Newsvendor, Festival NieveSur

Desarrollo numérico oficial para decidir inventario de mantas y cajas de almuerzo.

Problema 1 · Festival NieveSur

Pauta oficial

Problema 1 · Inventario de un solo día

📄 Quiz 2 · Newsvendor · ENOPE415 Gestión Estratégica de Operaciones · Primavera 2026 · prof. Simón Maturana. Enunciado y pauta oficial del curso (quiz_2_newsvendor_pauta.pdf).

Imagina que antes del festival debes preparar productos, pero todavía no sabes cuánta gente llegará. Si preparas muy poco, pierdes ventas. Si preparas demasiado, te quedan productos que debes liquidar. El pedido óptimo busca equilibrar esos dos riesgos.

NieveSur organiza un festival de invierno de un solo día. Debe decidir el inventario antes de conocer la demanda. No existe posibilidad de reabastecimiento durante el evento y toda demanda no satisfecha se pierde. Los productos se administran en forma independiente.

Producto A: mantas oficiales. Demanda normal con media 1.200 unidades y desviación estándar 300 unidades. Cada manta se vende a $100, cuesta $60 y puede liquidarse después a $40.

Producto B: cajas de almuerzo. Demanda Poisson con media λ = 8. Cada caja se vende a $12, cuesta $6 y las sobrantes se liquidan a $2.

Tabla Poisson entregada:

q	Pr(D=q)	F(q)	q	Pr(D=q)	F(q)
0	0,0003	0,0003	8	0,1396	0,5925
1	0,0027	0,0030	9	0,1241	0,7166
2	0,0107	0,0138	10	0,0993	0,8159
3	0,0286	0,0424	11	0,0722	0,8881
4	0,0573	0,0996	12	0,0481	0,9362
5	0,0916	0,1912	13	0,0296	0,9658
6	0,1221	0,3134	14	0,0169	0,9827
7	0,1396	0,4530	15	0,0090	0,9918

Para la demanda normal, la tabla entregada incluye Φ(0,43) = 0,6664 y L(0,43) = 0,2203.

Para las mantas, calcule Cu, Co y el ratio crítico.
Determine el pedido óptimo y la probabilidad de satisfacer toda la demanda.
Calcule las ventas perdidas esperadas y el fill rate.
Calcule las ventas esperadas, el sobrante esperado y la utilidad esperada.
Para las cajas, calcule Cu, Co, el ratio crítico y el pedido óptimo usando la distribución acumulada.
Calcule Pr(D>Q) y Pr(D≥Q) para el pedido óptimo.
Explique qué ocurre con el pedido óptimo si aumenta el valor de liquidación.

a) Mantas: costos y ratio crítico

El costo de subestimar es lo que dejas de ganar cuando te falta una manta. El costo de sobreestimar es lo que pierdes cuando preparas una manta que termina liquidada.

Cu = p − c = 100 − 60 = 40 u.m.
Co = c − v = 60 − 40 = 20 u.m.

RC = Cu / (Cu + Co) = 40 / (40 + 20) = 2 / 3 ≈ 0,6667.

Cu = 40 u.m.; Co = 20 u.m.; ratio crítico = 0,6667.

El precio de venta y el costo determinan el costo de quedarse corto; el costo y el valor de liquidación determinan el costo de sobrar.

b) Mantas: pedido óptimo y probabilidad de satisfacer la demanda

Busca en la tabla normal el valor cuya probabilidad acumulada se acerque al ratio crítico. Ese valor indica cuántas desviaciones estándar debes sumar a la demanda promedio.

Para una demanda continua: F(Q*) = RC = 0,6667.
En la tabla: Φ(0,43) = 0,6664.
Por lo tanto, z* ≈ 0,43.

Q* = μ + z*σ = 1.200 + 0,43(300) = 1.329 unidades.

Pr(D ≤ 1.329) ≈ Φ(0,43) = 0,6664 = 66,64 %.

Pedido óptimo: 1.329 mantas. Probabilidad de satisfacer toda la demanda: 66,64 %.

La cantidad se redondea a la unidad más cercana. La probabilidad corresponde al valor tabulado utilizado.

c) Mantas: ventas perdidas y fill rate

Las ventas perdidas son las personas que querían comprar una manta, pero no alcanzó el inventario. El fill rate muestra qué fracción de la demanda promedio sí lograste atender.

La tabla entrega L(0,43) = 0,2203.

E[(D − Q*)+] = σL(z*) = 300(0,2203) = 66,09 unidades.

FR = 1 − E[(D − Q*)+] / E[D]
FR = 1 − 66,09 / 1.200 = 0,9449 ≈ 94,49 %.

Ventas perdidas esperadas: 66,09 unidades. Fill rate: 94,49 %.

Un fill rate de 94,49 % no significa que siempre se atienda ese porcentaje en cada realización, sino que compara promedios.

d) Mantas: ventas, sobrante y utilidad esperada

De las 1.200 unidades de demanda promedio, se pierden 66,09 ventas. Lo que se vende y lo que sobra debe completar las 1.329 mantas preparadas.

E[ventas] = E[D] − E[(D − Q*)+] = 1.200 − 66,09 = 1.133,91 unidades.

E[sobrante] = Q* − E[ventas] = 1.329 − 1.133,91 = 195,09 unidades.

E[π] = pE[ventas] + vE[sobrante] − cQ*
E[π] = 100(1.133,91) + 40(195,09) − 60(1.329)
E[π] ≈ 41.454,60 u.m.

Ventas esperadas: 1.133,91 unidades; sobrante esperado: 195,09 unidades; utilidad esperada: 41.454,60 u.m.

La igualdad ventas más sobrante igual al pedido permite calcular el sobrante sin una distribución adicional.

e) Cajas: costos, ratio crítico y pedido óptimo

Para las cajas, se compara el ratio crítico con la columna acumulada. Hay que escoger el primer pedido cuya probabilidad acumulada alcance el ratio crítico.

Cu = p − c = 12 − 6 = 6 u.m.
Co = c − v = 6 − 2 = 4 u.m.

RC = 6 / (6 + 4) = 0,60.

La tabla muestra F(8) = 0,5925, que es menor que 0,60, y F(9) = 0,7166, que es mayor o igual que 0,60.

Por la regla discreta, se selecciona el menor entero Q tal que F(Q) ≥ RC. Por lo tanto, Q* = 9 cajas.

Pedido óptimo: 9 cajas.

En una distribución discreta no se busca necesariamente una acumulada exactamente igual a 0,60; se toma el primer valor que la alcanza o supera.

f) Cajas: probabilidades de falta de inventario

Demanda no satisfecha ocurre cuando la demanda es mayor que el pedido. Terminar sin cajas disponibles también incluye el caso en que la demanda es exactamente igual al pedido.

Para Q* = 9:

Pr(D > 9) = 1 − F(9) = 1 − 0,7166 = 0,2834 = 28,34 %.

Pr(D ≥ 9) = 1 − F(8) = 1 − 0,5925 = 0,4075 = 40,75 %.

Pr(D > 9) = 28,34 %. Pr(D ≥ 9) = 40,75 %.

La diferencia está en el caso D = 9: no queda inventario disponible, pero toda la demanda queda satisfecha.

g) Aumento del valor de liquidación

Si una caja sobrante se puede vender a un valor mayor, queda menos peligro de perder dinero por preparar de más. Por eso conviene preparar más cajas, aunque el pedido pueda mantenerse igual por el salto entre valores enteros.

Si aumenta v, disminuye Co = c − v. Entonces aumenta RC = Cu / (Cu + Co). En una demanda discreta, la cantidad óptima aumenta o puede mantenerse temporalmente igual hasta que el ratio crítico cruce el siguiente valor de la distribución acumulada.

Al aumentar el valor de liquidación, el pedido óptimo aumenta o permanece igual temporalmente.

La cantidad no necesariamente cambia en cada aumento de v porque el pedido de cajas debe ser un entero.

Lo que agregó el profesor en el archivo nuevo

El quiz debe resolverse en 60 minutos y tiene 23 puntos. Se debe mostrar claramente el procedimiento, incluir las unidades de medida y aproximar los resultados numéricos a dos decimales.

La pauta acepta pequeñas diferencias en los resultados cuando provienen de redondear z* o Q*.

Como referencia para organizar el tiempo: 28-30 minutos para el producto A, 15-18 minutos para el producto B y 3-5 minutos para revisar.

📊 Control estadístico de calidad

Desarrollo completo del problema de diagrama de control X-barra de la Ayudantía Solemne.

Problema 1 · Diagrama de control X-barra

Pauta oficial

Problema 1 · Productividad de operarios

Un centro de distribución registró la cantidad de órdenes preparadas por tres operarios durante cinco días. Se desea construir un diagrama de control X-barra agrupando los datos por día.

Día	Operario 1	Operario 2	Operario 3
1	42	40	41
2	39	41	40
3	41	42	40
4	40	41	42
5	48	47	49

El promedio general es 42,13 y la desviación estándar general es 3,02.

¿Qué promedio debe calcularse para comparar las muestras?
Calcule el límite superior de control y el límite inferior de control del diagrama X-barra usando la desviación estándar general.
Determine si el proceso está bajo control o fuera de control.

a) Identificación de la muestra y promedio diario

Imagina cinco bandejas, una por día. En cada bandeja hay tres números, uno por operario. Para comparar las bandejas, calculamos el promedio de los tres números de cada día. No comparamos primero a los operarios entre sí, porque la muestra está definida por día.

Como los datos se agrupan por día, cada día es una muestra. Por lo tanto, corresponde calcular el promedio diario entre los tres operarios.

Día 1: (42 + 40 + 41) / 3 = 123 / 3 = 41

Día 2: (39 + 41 + 40) / 3 = 120 / 3 = 40

Día 3: (41 + 42 + 40) / 3 = 123 / 3 = 41

Día 4: (40 + 41 + 42) / 3 = 123 / 3 = 41

Día 5: (48 + 47 + 49) / 3 = 144 / 3 = 48

Los promedios X-barra diarios son: 41, 40, 41, 41 y 48.

Error típico: calcular el promedio de cada operario a lo largo de los cinco días. La pauta agrupa las observaciones por día, por lo que cada muestra tiene tamaño n = 3.

b) Límites de control

Piensa en una zona permitida alrededor del promedio general. Si el promedio de un día cae dentro de esa zona, no hay evidencia suficiente de una variación especial. Si queda fuera, hay que investigar qué pasó ese día.

Para un diagrama X-barra, los límites se calculan con el promedio general, la desviación estándar general y el tamaño del subgrupo:

UCL = X-barra + (3S / √n)

LCL = X-barra - (3S / √n)

Datos: X-barra = 42,13; S = 3,02; n = 3.

UCL = 42,13 + (3 × 3,02 / √3)

UCL = 42,13 + (9,06 / √3) = 47,36

LCL = 42,13 - (3 × 3,02 / √3)

LCL = 42,13 - (9,06 / √3) = 36,9

LCL = 36,9; línea central = 42,13; UCL = 47,36.

El tamaño del subgrupo es 3 porque cada día contiene los datos de tres operarios.

c) Evaluación del control del proceso

Ahora ponemos cada promedio diario entre dos límites: 36,9 abajo y 47,36 arriba. Los primeros cuatro días quedan dentro de la zona. El quinto día marca 48 órdenes, que supera el límite superior.

Día	Promedio X-barra	LCL	UCL	Evaluación
1	41	36,9	47,36	Dentro de control
2	40	36,9	47,36	Dentro de control
3	41	36,9	47,36	Dentro de control
4	41	36,9	47,36	Dentro de control
5	48	36,9	47,36	Sobre el UCL

El proceso está fuera de control, porque el promedio del día 5 es 48 y supera el UCL de 47,36.

La conclusión no significa necesariamente que el proceso sea permanentemente deficiente. Indica que el día 5 presenta una variación por causa especial que debe investigarse.

📝 Ayudantía Solemne: desarrollo de ejercicios

Desarrollo numérico de procesos y colas, Newsvendor y control estadístico de calidad.

Problema 1 · Procesos y colas

Pauta oficial

Problema 1 · Evaluación preoperatoria

Los pacientes llegan a un ritmo de 8 pacientes por hora y recorren seis etapas:

Etapa	Tiempo por paciente	Servidores
Registro	2 minutos	1 empleado
Constantes vitales	10 minutos	2 técnicos
Revisión de enfermería	43 minutos	5 enfermeras
Evaluación médica	64 minutos	8 médicos
Análisis de sangre	6 minutos	3 técnicos
Trámites de salida	1 minuto	1 empleado

Se admiten pacientes entre las 08:00 y las 15:59. No se admiten nuevos pacientes después de las 16:00, pero la clínica sigue funcionando hasta atender al último paciente que llegó antes de las 16:00.

Calcule la utilización de cada etapa e identifique el cuello de botella.
Determine la hora en que se atiende al último paciente en el cuello de botella, la espera promedio y el inventario promedio en espera.
Calcule cuánto espera un paciente para ser atendido por un médico después de la revisión de enfermería.
Proponga mejoras para eliminar los cuellos de botella.

a) Capacidad y utilización

Imagina una fila de cajas. Cada etapa puede procesar cierta cantidad de pacientes por hora. Si llegan más pacientes de los que una etapa puede atender, esa fila se agranda. La etapa más lenta es el cuello de botella.

La capacidad se calcula como:

Capacidad = número de servidores × 60 / minutos por paciente

Etapa	Capacidad	Utilización
Admisión	30 pacientes/h	27%
Constantes vitales	12 pacientes/h	67%
Revisión de enfermería	7 pacientes/h	100%
Evaluación médica	7,5 pacientes/h	93%
Análisis de sangre	30 pacientes/h	23%
Alta	60 pacientes/h	11%

La utilización formal es ρ = llegada / capacidad. La revisión de enfermería es el cuello de botella porque tiene la menor capacidad, aproximadamente 7 pacientes por hora.

La revisión de enfermería es el cuello de botella: capacidad aproximada de 7 pacientes/h y utilización de 100%.

El material también muestra en la planilla una capacidad de 6,976744186046512 pacientes/h y una utilización de 1,1466666666666667 para RN Visit. Esa cifra contradice la solución oficial resumida, que utiliza 7 pacientes/h y 100%. Para esta pauta se conserva la conclusión oficial del material.

b) Acumulación en el cuello de botella

Si llegan 8 pacientes por hora y la enfermería atiende 7, queda aproximadamente 1 paciente acumulándose cada hora. Cuando dejan de llegar pacientes, la enfermería sigue atendiendo la fila hasta vaciarla.

Indicador	Resultado
Último paciente atendido en el cuello de botella	17:09
Pacientes esperando en promedio	4,043715846994536 pacientes, aproximadamente 4
Tiempo promedio de espera	0,5859065716547902 horas = 35,15439429928741 minutos, aproximadamente 35 minutos

El último paciente se atiende aproximadamente a las 17:09; esperan en promedio unos 4 pacientes durante aproximadamente 35 minutos.

c) Espera para la atención médica

Después de la enfermera, el paciente entra a otra fila. Hay 8 médicos, pero cada consulta dura 64 minutos. La espera aumenta cuando casi todos los médicos están ocupados.

Datos: m = 8 servidores, p = 64 minutos, a = 8,571 minutos, CVa = 1 y CVp = 0,5.

Utilización:

ρ = p / (m × a) = 64 / (8 × 8,571) = 0,933

Factor de tiempo de servicio:

64 / 8 = 8

Factor de utilización:

0,933 × √(2 × 9 − 1) / (1 − 0,933) = 11,993

Factor de variabilidad:

(1² + 0,5²) / 2 = 0,625

Espera:

Tq = 8 × 11,993 × 0,625 = 59,965 minutos

El tiempo de espera para ser atendido por un médico es aproximadamente 60 minutos.

d) Mejoras

Para que la fila deje de crecer, puedes agregar otra persona a la estación lenta o hacer que cada atención dure menos.

Añadir al menos una enfermera.
Estandarizar la revisión para reducir el tiempo de atención por paciente.
Con una enfermera más, la utilización baja aproximadamente a 95%.

La mejora recomendada es añadir una enfermera, porque reduce la utilización aproximadamente a 95% y hace sostenible la operación.

Problema 2 · Newsvendor con berlines

Pauta oficial

Problema 2 · Cantidad óptima de producción

La demanda diaria de berlines tiene media 60 y desviación estándar 16. Cada berlin se vende a $800 y cuesta $500. Los berlines no vendidos durante el primer día no pueden venderse, salvo en el ítem que incorpora refrigeración.

Calcule la utilidad esperada y la probabilidad de quiebre de stock si se preparan 60 berlines.
Calcule los costos underage y overage.
Determine la cantidad óptima.
Analice el cambio si la desviación estándar es 24.
Analice el cambio si los sobrantes se venden el segundo día con 70% de descuento.

a) Producción de 60 berlines

Preparar muy pocos significa perder ventas. Preparar demasiados significa pagar por berlines que sobran. Newsvendor busca el punto donde esos dos riesgos quedan equilibrados.

La estandarización es:

z = (Q − μ) / σ = (60 − 60) / 16 = 0

Función de pérdida:

L(z) = ϕ(z) − z(1 − Φ(z)) = ϕ(0) − 0 × (1 − Φ(0)) = 0,399

Ventas perdidas esperadas:

E(Lost Sales) = 16 × 0,399 = 6,38

Ventas esperadas:

E(Ventas) = 60 − 6,38 = 53,62

Sobras esperadas:

E(Sobras) = 60 − 53,62 = 6,38

Con salvataje igual a 0, la planilla entrega una utilidad esperada de $12.893,54.

Quiebre de stock:

P(D > Q) = 1 − F(Q) = 1 − F(60) = 50%

Utilidad esperada: $12.893,54. Probabilidad de quiebre de stock: 50%.

b) Costos unitarios

El underage es lo que pierdes por quedarte corto. El overage es lo que pierdes por preparar una unidad que no vendes.

Underage: Cu = Precio − Costo = $800 − $500 = $300.

Overage: Co = Costo unitario = $500.

Cu = $300 y Co = $500.

c) Cantidad óptima con desviación estándar 16

El ratio crítico indica qué tan dispuesto estás a producir antes de conocer la demanda. Mientras más caro sea quedarse corto respecto de sobrar, más alto será el pedido óptimo.

RC = Cu / (Co + Cu) = $300 / ($500 + $300) = 0,38

Q* = F⁻¹(RC) = F⁻¹(0,38) = 54,9

Como no se pueden preparar 54,9 berlines, se redondea hacia arriba.

La cantidad óptima es 55 berlines.

d) Desviación estándar igual a 24

El costo de quedarse corto no cambia, pero ahora la demanda es más incierta. Como preparar de más cuesta $500 y quedarse corto cuesta $300, conviene reducir la cantidad.

El ratio crítico sigue siendo:

Q* = F⁻¹(0,38)

Con σ = 24, la planilla entrega:

Q* = 52,35

La nueva cantidad óptima es 53 berlines.

e) Refrigeración y venta con 70% de descuento

Ahora los sobrantes no se pierden completamente: se pueden vender al día siguiente. Por eso preparar de más duele menos.

Precio del segundo día:

$800 × (1 − 70%) = $240

Nuevo overage:

Co = $500 − $240 = $260

El underage permanece en $300.

Nuevo ratio crítico:

RC = $300 / ($260 + $300) = 0,54

Cantidad continua:

Q* = F⁻¹(0,54) = 61,43

La cantidad óptima es 62 berlines.

Problema 3 · Control estadístico de calidad

Pauta oficial

Problema 3 · Diagrama X-bar

Se registraron las órdenes preparadas por tres operarios durante cinco días:

Día	Operario 1	Operario 2	Operario 3
Día 1	42	40	41
Día 2	39	41	40
Día 3	41	42	40
Día 4	40	41	42
Día 5	48	47	49

Promedio general: 42,13. Desviación estándar general: S = 3,02. Los datos se agrupan por día.

Indique qué promedio debe calcularse para un gráfico X-bar.
Calcule UCL y LCL.
Determine si el proceso está bajo control.

a) Promedios de las muestras

Cada día es una muestra con tres observaciones. Para saber cómo se comporta cada muestra, se suman las órdenes de sus tres operarios y se divide por 3.

La alternativa correcta es calcular el promedio de órdenes de cada día entre los tres operarios.

Día	Cálculo	Promedio
Día 1	(42 + 40 + 41) / 3	41
Día 2	(39 + 41 + 40) / 3	40
Día 3	(41 + 42 + 40) / 3	41
Día 4	(40 + 41 + 42) / 3	41
Día 5	(48 + 47 + 49) / 3	48

Se deben comparar los promedios diarios: 41, 40, 41, 41 y 48.

b) Límites de control

El límite superior es como una línea que marca hasta dónde puede variar normalmente el promedio. Si una muestra la supera, hay una señal de posible causa especial.

Como cada día tiene n = 3 observaciones:

UCL = x̄ + 3S / √n

LCL = x̄ − 3S / √n

Reemplazando:

UCL = 42,13 + 3 × 3,02 / √3 = 47,36

LCL = 42,13 − 3 × 3,02 / √3 = 36,9

LCL = 36,9; línea central = 42,13; UCL = 47,36.

c) Diagnóstico del proceso

Comparamos cada promedio diario con las dos líneas. Si queda entre ellas, está dentro del rango de control. Si queda afuera, el proceso muestra una señal especial.

Día	Promedio	Comparación
Día 1	41	Entre 36,9 y 47,36
Día 2	40	Entre 36,9 y 47,36
Día 3	41	Entre 36,9 y 47,36
Día 4	41	Entre 36,9 y 47,36
Día 5	48	Sobre 47,36

El proceso está fuera de control porque el promedio del día 5 es 48 y supera el UCL de 47,36.

Los días 1 a 4 permanecen bajo los límites de control. El día 5 muestra una posible variación por causa especial.